Question

【題目】某廠家生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈，為了打開市場(chǎng)出臺(tái)了相關(guān)政策：由廠家協(xié)調(diào)，廠家按成本價(jià)提供產(chǎn)品給經(jīng)營(yíng)戶自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由廠家承擔(dān)．李明按照相關(guān)政策投資銷售本產(chǎn)品．已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=﹣10x+500．
（1）李明在開始銷售的第一個(gè)月將銷售單價(jià)定為20元，那么廠家這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元？
（2）設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為w（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？
（3）物價(jià)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于3000元，那么廠家為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元？

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)x=20時(shí)，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，

300×（12﹣10）=300×2=600元，

即政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為600元

（2）解：由題意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）

=﹣10x2+600x﹣5000

=﹣10（x﹣30）2+4000

∵a=﹣10＜0，

∴當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值4000元．

即當(dāng)銷售單價(jià)定為30元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)4000元

（3）解：由題意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，

解得：x1=20，x2=40．

∵a=﹣10＜0，拋物線開口向下，

∴結(jié)合圖象可知：當(dāng)20≤x≤40時(shí)，4000＞w≥3000．

又∵x≤25，

∴當(dāng)20≤x≤25時(shí)，w≥3000．

設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，

∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）

=﹣20x+1000．

∵k=﹣20＜0．

∴p隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=25時(shí)，p有最小值500元．

即銷售單價(jià)定為25元時(shí)，政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為500元

【解析】（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出銷售的件數(shù)，然后求出政府承擔(dān)的成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)；（2）由總利潤(rùn)=銷售量每件純賺利潤(rùn)，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函數(shù)轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)坐標(biāo)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤(rùn)；（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，結(jié)合圖象求出利潤(rùn)的范圍，然后設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出總差價(jià)的最小值．