Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，AB=4，BC=6，AD=8，點P、Q同時從A點出發(fā)，分別做勻速運動，其中點P沿AB、BC向終點C運動，速度為每秒2個單位，點Q沿AD向終點D運動，速度為每秒1個單位，當這兩點中有一個點到達自己的終點時，另一個點也停止運動，設這兩個點從出發(fā)運動了t秒．
（1）動點P與Q哪一點先到達自己的終點？此時t為何值；
（2）當O＜t＜2時，寫出△PQA的面積S與時間t的函數(shù)關系式；
（3）以PQ為直徑的圓能否與CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）P點的運動的總路程為AB+BC=10，Q點的總路程為AD=8，可根據(jù)它們的速度求出各自到達終點時用的時間，進行比較即可；
（2）要求三角形PQA的面積就要求出三角形的底和高，底AQ可以用時間表示出來，高可以根據(jù)AP和∠A的度數(shù)來求；如果過B引AD邊的垂線，那么∠A的余弦值就是（AD-BC）÷AB，據(jù)此可求出∠A的度數(shù)，也就能求出三角形APQ的高；然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出關于S，t的函數(shù)關系式；
（3）當P在AB上時，即0＜t＜2，顯然不可能和CD相切．
當P在BC上時，即2≤t≤5時，如果圓與CD相切，設切點為K，連接圓心和K，這條線段就是直角梯形DPOD的中位線，由此可用CP，DO表示出OK，也就可以用含t的式子表示出圓的直徑；如果過P引AD的垂線，那么CP，DQ的差，CD，PQ這三者恰好可以根據(jù)勾股定理來得出關于t的方程，解方程后即可求出t的值．
解答：解：（1）∵當P到c點時，t=5（秒），
當Q到D點時，t=8（秒），
∴點P先到達終點，此時t為5秒；

（2）如圖，作BE⊥AD于點E，PF⊥AD于點F．
AE=2，在Rt△ABE中∠A=60°，PF=t，
∴s=t²（0＜t＜2）；

（3）當0＜t＜2時，以PO為直徑的圓與CD不可能相切．
當2≤t≤5時，設以PQ為直徑的⊙O與CD相切于點K，
則有PC=10-2t，DQ=8-t，OK⊥DC．
∵OK是梯形PCDQ的中位線，
∴PQ=20K=PC+DO=18-3t．
在直角梯形PCDQ中，PO²=CD²+（DO-CP）²，
解得：t=．
∵＞5，不合題意舍去．
2＜＜5，
因此，當t=時，以PQ為直徑的圓與CD相切．
點評：本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)，解直角三角形的應用以及中位線的應用等知識點．