Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為點(diǎn)B關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)，連接CF，分別延長(zhǎng)DC，CF至點(diǎn)G，H，使FH=CG，連接AG，DH交于點(diǎn)P．

（1）依題意補(bǔ)全圖1；

（2）猜想AG和DH的數(shù)量關(guān)系并證明；

（3）若∠DAB=70°，是否存在點(diǎn)G，使得△ADP為等邊三角形？若存在，求出CG的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) AG=DH,理由見(jiàn)解析;(3) 不存在．理由見(jiàn)解析.

【解析】(1)依題意畫(huà)圖；

（2）根據(jù)菱形性質(zhì)得，∥，；由點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，得垂直平分，故，，所以，再證，

由，，得．可證△≌△．

（3）由（2）可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，

證得∠DPA=∠PDG＋∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°，故△ADP不可能是等邊三角形．

（1）補(bǔ)全的圖形，如圖所示．

（2）AG=DH．

證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴，∥，．

∵點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，

∴垂直平分．

∴，．

∴．

又∵，

∴．

∵，，

∴．

∴△≌△．

∴．

（3）不存在．

理由如下：

由（2）可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，

∴∠DPA=∠PDG＋∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°．

∴△ADP不可能是等邊三角形．