Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，D為BC邊上一點(diǎn)，CD=3，過A，C，D三點(diǎn)的⊙O與斜邊AB交于點(diǎn)E，連結(jié)DE．

（1）求證：△BDE∽△BAC；

（2）求△ACD外接圓的直徑的長(zhǎng)；

（3）若AD平分∠CAB，求出BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3；（3）BD=5．

【解析】

試題分析：（1）由圓周角定理可證∠AED=90°，所以∠DEB=90°，再由公共角相等即可證明△BDE∽△BAC；

（2）由圓周角定理可證明AD是△ACD外接圓的直徑，在直角三角形ACD中利用勾股定理可求出AD的長(zhǎng)，問題得解；

（3）設(shè)BD=x，則BC=CD+x，由勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，由（1）可知△BDE∽△BAC，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等可得到關(guān)于x的比例式，進(jìn)而可求出x的值，BD的長(zhǎng)得解．

解：（1）∵∠ACB=90°，

∴AD是圓的直徑，

∴∠AED=90°，

∴∠DEB=90°，

又∵∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC；

（2）∵∠ACB=90°，

∴AD是圓的直徑，

∵AC=6，CD=3，

∴AD===3；

（3）∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，AC⊥CD，

∴CD=DE=3，

設(shè)BD=x，則BC=CD+x=3+x，

在Rt△ACB中，AB==，

∵△BDE∽△BAC，

∴，

即，

∴4x2=62+（3+x）2，

解得：x=5或﹣3（舍），

∴BD=5．