Question

【題目】如圖，P是線段AB上一點(diǎn)，AB=12cm，C、D兩點(diǎn)分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)（C在線段AP上，D在線段BP上），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t.

（1）當(dāng)t=1時(shí)，PD=2AC，請(qǐng)求出AP的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)t=2時(shí)，PD=2AC，請(qǐng)求出AP的長(zhǎng)；

（3）若C、D運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有PD=2AC，請(qǐng)求出AP的長(zhǎng)；

（4）在（3）的條件下，Q是直線AB上一點(diǎn)，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）4cm；（2）4cm；（3）4cm；（4）4cm或12cm

【解析】試題分析：

(1) 觀察圖形可以看出，圖中的線段PC和線段BD的長(zhǎng)分別代表動(dòng)點(diǎn)C和D的運(yùn)動(dòng)路程. 利用“路程等于速度與時(shí)間之積”的關(guān)系可以得到線段PC和線段BD的長(zhǎng)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)BD=2PC. 結(jié)合條件PD=2AC，可以得到PB=2AP. 根據(jù)上述關(guān)系以及線段AB的長(zhǎng)，可以求得線段AP的長(zhǎng).

(2) 利用“路程等于速度與時(shí)間之積”的關(guān)系結(jié)合題目中給出的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，可以求得線段PC和線段BD的長(zhǎng)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)BD=2PC. 根據(jù)BD=2PC和PD=2AC的關(guān)系，依照第(1)小題的思路，可以求得線段AP的長(zhǎng).

(3) 利用“路程等于速度與時(shí)間之積”的關(guān)系可知，只要運(yùn)動(dòng)時(shí)間一致，點(diǎn)C與點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路程的關(guān)系與它們運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系一致. 根據(jù)題目中給出的運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系，可以得到BD=2PC. 這樣，本小題的思路就與前兩個(gè)小題的思路一致了. 于是，依照第(1)小題的思路，可以求得線段AP的長(zhǎng).

(4) 由于題目中沒有指明點(diǎn)Q與線段AB的位置關(guān)系，所以應(yīng)該按照點(diǎn)Q在線段AB上以及點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上兩種情況分別進(jìn)行求解. 首先，根據(jù)題意和相關(guān)的條件畫出相應(yīng)的示意圖. 根據(jù)圖中各線段之間的關(guān)系并結(jié)合條件AQ-BQ=PQ，得到AP和BQ之間的關(guān)系，借助前面幾個(gè)小題的結(jié)論，即可求得線段PQ的長(zhǎng).

試題解析：

(1) 因?yàn)辄c(diǎn)C從P出發(fā)以1(cm/s)的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=1(s)，所以 (cm).

因?yàn)辄c(diǎn)D從B出發(fā)以2(cm/s)的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=1(s)，所以 (cm).

故BD=2PC.

因?yàn)?/span>PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.

故AB=AP+PB=3AP.

因?yàn)?/span>AB=12cm，所以 (cm).

(2) 因?yàn)辄c(diǎn)C從P出發(fā)以1(cm/s)的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=2(s)，所以 (cm).

因?yàn)辄c(diǎn)D從B出發(fā)以2(cm/s)的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=2(s)，所以 (cm).

故BD=2PC.

因?yàn)?/span>PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.

故AB=AP+PB=3AP.

因?yàn)?/span>AB=12cm，所以 (cm).

(3) 因?yàn)辄c(diǎn)C從P出發(fā)以1(cm/s)的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)，所以 (cm).

因?yàn)辄c(diǎn)D從B出發(fā)以2(cm/s)的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)，所以 (cm).

故BD=2PC.

因?yàn)?/span>PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.

故AB=AP+PB=3AP.

因?yàn)?/span>AB=12cm，所以 (cm).

(4) 本題需要對(duì)以下兩種情況分別進(jìn)行討論.

(1) 點(diǎn)Q在線段AB上(如圖①).

因?yàn)?/span>AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.

因?yàn)?/span>AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.

因?yàn)?/span>，所以.

故.

因?yàn)?/span>AB=12cm，所以 (cm).

(2) 點(diǎn)Q不在線段AB上，則點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上(如圖②).

因?yàn)?/span>AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.

因?yàn)?/span>AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.

因?yàn)?/span>，所以.

故.

因?yàn)?/span>AB=12cm，所以 (cm).

綜上所述，PQ的長(zhǎng)為4cm或12cm.