Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+c圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)M（0，-9），且經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）．
（1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)D（x，y）是此二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第三象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-5，0），四邊形ABCD是以AC為對(duì)角線的平行四邊形．
①求平行四邊形ABCD的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②當(dāng)點(diǎn)B在此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上時(shí)，求平行四邊形ABCD的面積；
③當(dāng)平行四邊形ABCD的面積為64時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形ABCD是否為菱形？
④是否存在點(diǎn)D，使平行四邊形ABCD為正方形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得
解之，得
故二次函數(shù)的關(guān)系式為y=x²-9

（2）①D（x，y）在二次函數(shù)的圖象上，且位于第三象限，
∴y＜0，即-y＞0，-y表示點(diǎn)D到AC的距離．
∵AC是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，
∴．
當(dāng)y=0時(shí)，x²-9=0，得x=±3
所以二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（-3，0），
所以，自變量x的取值范圍是-3＜x＜0．
②如圖：當(dāng)點(diǎn)B在此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上時(shí)，
過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠DCE=∠BAO，∠CED=∠AOB=90°，
∴△ABO≌△CDE
∵點(diǎn)B在二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸上OA=3，
∴CE=OA=3，
所以O(shè)E=2，所以當(dāng)x=-2時(shí)，y=-5，S=40；
③根據(jù)題意，當(dāng)S=64時(shí)，即-8x²+72=64．
解之，得x₁=1，x₂=-1．
故所求的點(diǎn)D有兩個(gè)，分別為D₁（1，-8）（舍去），D₂（-1，-8）．
所以平行四邊形ABCD不是菱形（或者說明點(diǎn)D不在第三象限）；
點(diǎn)D₂（-1，-8）滿足DC=DA，
所以平行四邊形ABCD是菱形．
④當(dāng)AC⊥BD，且AC=BD時(shí)，
平行四邊形ABCD是正方形，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)只能是（-1，-4）．
而坐標(biāo)為（-1，-4）的點(diǎn)不在二次函數(shù)的圖象上，
故不存在這樣的點(diǎn)D，使平行四邊形ABCD為正方形．
分析：（1）將A、M兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+c即可求得拋物線的解析式；
（2）①根據(jù)D點(diǎn)坐標(biāo)，用y表示出平行四邊形ABCD的面積S，進(jìn)而便可求出平行四邊形ABCD的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，
②過點(diǎn)D作DE⊥AC，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)，求出OE的長，便可求出平行四邊形ABCD的面積，
③根據(jù)平行四邊形的面積求出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可判斷平行四邊形ABCD為菱形，
④不存在，先求出使平行四邊形ABCD為正方形是D點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷D點(diǎn)不在拋物線上，即不存在D點(diǎn)坐標(biāo)滿足題中條件．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．