Question

【題目】閱讀理解：如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與A、B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”：如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”．解決問題：

（1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=45°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；

（2）如圖2，在矩形ABCD中，A、B、C、D四點均在正方形網格（網格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖②中畫出矩形ABCD的邊AB上的強相似點；　　

（3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB與BC的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，理由見解析；（2）見解析；（3）=

【解析】

（1）要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解．
（2）以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的一個交點即為所求．

（3）由點E是矩形ABCD的AB邊上的一個強相似點，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根據相似三角形的對應角相等，可求得∠BCE=∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性質可得BE與AB，BC邊之間的數量關系，從而可求出AB與BC邊之間的數量關系．

（1）∵∠A=∠DEC=45°

∴∠ADE+∠AED=135°，∠BEC+∠AED=135°，

∴∠ADE=∠BEC，

又∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC，

∴點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點；

（2）如圖中所示的點E和點F為AB上的強相似點；

（3）∵點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，

由折疊可知：△ECM≌△DCM，

∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，

∴∠BCE=∠BCD=30°，CE=AB，

在Rt△BCE中，cos∠BCE=，

∴=，

∴=．