Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝－x2－x＋2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

(2)此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) 點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－4，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2)；(2) 點(diǎn)M坐標(biāo)為(－1，－1)或(－1，2＋)或(－1，2－)．

【解析】試題分析：（1）由拋物線y＝－x2－x＋2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，分別令y=0與x=0，即可求得答案；

（2）分別從M，C，A為頂點(diǎn)去分析求解即可求得答案．

試題解析：(1)令y＝0，得－x2－x＋2＝0，

∴x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－4，0)，

令x＝0，得y＝2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2)；

(2)①當(dāng)C為等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)時(shí)，CM1＝CA＝2，CM2＝CA，

作M1N⊥OC于N，則M1N＝1.

在Rt△CM1N中，CN＝＝，

∴點(diǎn)M1坐標(biāo)為(－1，2＋)，點(diǎn)M2坐標(biāo)為(－1，2－)；

②當(dāng)M3為等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)時(shí)，

易求直線AC的表達(dá)式為y＝－x＋2，

∴線段AC的垂直平分線為y＝x與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為M3(－1，－1)，

∴點(diǎn)M3的坐標(biāo)為(－1，－1)；

③當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)的三角形不存在，

綜上所述：點(diǎn)M坐標(biāo)為(－1，－1)或(－1，2＋)或(－1，2－)．