Question

【題目】已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC為邊作平行四邊形CEFB，連CD、CF．

（1）如圖1，當E、D分別在AC和AB上時，求證：CD＝CF；

（2）如圖2，△ADE繞點A旋轉一定角度，判斷（1）中CD與CF的數(shù)量關系是否依然成立，并加以證明；

（3）如圖3，AE＝，AB＝，將△ADE繞A點旋轉一周，當四邊形CEFB為菱形時，直接寫出CF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）成立，理由詳見解析；（3）CF的值為6或4．

【解析】

（1）連接FD．證明△ADC≌△EDF（SAS），推出△DFC為等腰直角三角形即可解決問題；

（2）成立，連接FD，證明△ADC≌△EDF（SAS），推出△DFC為等腰直角三角形即可解決問題；

（3）分兩種情形分別畫出圖形，利用（2）中結論求出CD即可解決問題．

（1）證明：連接FD，

∵AD＝ED，∠ADE＝90°，

∴∠DAC＝∠AED＝45°，

∵四邊形BCEF是平行四邊形，∠BCE＝90°，

∴四邊形BCEF是矩形，

∴∠CEF＝∠AEF＝90°，BC＝EF＝AC，

∴∠DEF＝45°，

∴∠A＝∠DEF，

∴△ADC≌△EDF（SAS），

∴DC＝DF，∠DCA＝∠DFE，

∴∠FDC＝∠FEC＝90°，從而△DFC為等腰直角三角形，

∴CD＝CF；

（2）解：成立．

理由：連接FD，

∵AD⊥DE，EF⊥AC，

∴∠DAC＝∠DEF，又AD＝ED，AC＝EF，

∴△ADC≌△EDF（SAS），

∴DC＝DF，∠ADC＝∠EDF，即∠ADE+∠EDC＝∠FDC+∠EDC，

∴∠FDC＝∠ADE＝90°，

∴△DFC為等腰直角三角形，

∴CD＝CF；

（3）解：如圖3﹣1中，設AE與CD的交點為M，

∵CE＝CA，DE＝DA，

∴CD垂直平分AE，

∴，DM＝，

∴CD＝DM+CM＝，

∵CF＝CD

∴CF＝6；

如圖3﹣2中，設AE與CD的交點為M，

同法可得CD＝CM﹣DM＝，

∴CF＝CD＝4，

綜上所述，滿足條件的CF的值為6或4．