Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA=OC=4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作y軸的垂線．垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時，求出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由A（4，0），可知OA=4，

∵OA=OC=4OB，

∴OA=OC=4，OB=1，

∴C（0，4），B（﹣1，0）．

設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+x，

則，

解得：，

則拋物線的解析式是：y=﹣x²+3x+4；

 

（2）存在．

第一種情況，當(dāng)以C為直角頂點時，過點C作CP₁⊥AC，交拋物線于點P₁．過點P₁作y軸的垂線，垂足是M．

∵∠ACP₁=90°，

∴∠MCP₁+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP₁=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠MCP₁=∠OAC=45°，

∴∠MCP₁=∠MP₁C，

∴MC=MP₁，

設(shè)P（m，﹣m²+3m+4），則m=﹣m²+3m+4﹣4，

解得：m₁=0（舍去），m₂=2．

∴﹣m²+3m+4=6，

即P（2，6）．

第二種情況，當(dāng)點A為直角頂點時，過A作AP₂，AC交拋物線于點P₂，過點P₂作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點F．

∴P₂N∥x軸，

由∠CAO=45°，

∴∠OAP=45°，

∴∠FP₂N=45°，AO=OF．

∴P₂N=NF，

設(shè)P₂（n，﹣n²+3n+4），則n=（﹣n²+3n+4）﹣1，

解得：n₁=﹣2，n₂=4（舍去），

∴﹣n²+3n+4=﹣6，

則P₂的坐標(biāo)是（﹣2，﹣6）．

綜上所述，P的坐標(biāo)是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．

根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，

則AC==4，

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，D是AC的中點．

又∵DF∥OC，

∴DF=OC=2，

∴點P的縱坐標(biāo)是2．

則﹣x²+3x+1=2，

解得：x=，

∴當(dāng)EF最短時，點P的坐標(biāo)是：（，0）或（，0）．