Question

【題目】如圖所示，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A（﹣5，0），與y軸交于C（0，﹣5），并且對稱軸x＝﹣3．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P在x軸上方的拋物線上，過P的直線y＝x+m與直線AC交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，求PM+MN的最大值；

（3）點(diǎn)D為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，

①當(dāng)△ACD是以AC為直角邊的直角三角形時(shí)，求D點(diǎn)坐標(biāo)；

②若△ACD是銳角三角形，求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣6x﹣5；（2）PM+MN的最大值為9；（3）①點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，2）或（﹣3，﹣8）；②D的縱坐標(biāo)的取值范圍是﹣8＜y＜﹣6或1＜y＜2

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求解可得；

（2）易得AC解析式為，作軸，交AC于H，作軸，設(shè)，由MN的解析式為知，據(jù)此得，再根據(jù)及二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)一步求解可得；

（3）①設(shè)，先利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，再討論：當(dāng)△ACD是以AC為直角邊、CD為斜邊和以AC為直角邊、AD為斜邊的直角三角形時(shí)，分別解方程求出y即可得到對應(yīng)的D點(diǎn)坐標(biāo)；

②由于當(dāng)△ACD是以AC為斜邊的直角三角形時(shí)，，解方程得到y的值，然后結(jié)合圖形可確定△ACD是銳角三角形時(shí)，點(diǎn)D縱坐標(biāo)的取值范圍．

（1）∵拋物線過，對稱軸為直線

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為

可設(shè)拋物線解析式為

將點(diǎn)代入得

解得

則拋物線的解析式為

故拋物線的解析式為；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為

∴直線AC解析式為

過點(diǎn)P作軸，交AC于H，作PG⊥y軸于G

∵MN的解析式為

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為

故的最大值為；

（3）①設(shè)

則

當(dāng)△ACD是以AC為直角邊、CD為斜邊的直角三角形時(shí)

，即

解得，則此時(shí)

當(dāng)△ACD是以AC為直角邊、AD為斜邊的直角三角形時(shí)

，即

解得，則此時(shí)點(diǎn)

綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或；

②當(dāng)△ACD是以AC為斜邊的直角三角形時(shí)

，即

整理得

解得或

故當(dāng)△ACD是銳角三角形時(shí)，點(diǎn)D縱坐標(biāo)的取值范圍是或．