【題目】已知如圖,矩形OABC的長(zhǎng)OA=, 寬OC=1,將AOC沿AC翻折得APC.

(1)求∠PCB的度數(shù);

(2)若P,A兩點(diǎn)在拋物線y=x2+bx+c上,求bc的值,并說(shuō)明點(diǎn)C在此拋物線上;

(3)題(2)中的拋物線與矩形OABCCB相交于點(diǎn)D,與x軸相交于另外一點(diǎn)E,若點(diǎn)Mx軸上的點(diǎn),Ny軸上的點(diǎn),以點(diǎn)E、MD、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,試求點(diǎn)M、N的坐標(biāo).

【答案】(1)30°; (2)當(dāng)x=0時(shí),y=1,故C(0,1)在拋物線的圖象上;(3)見解析

【解析】(1)根據(jù)OC、OA的長(zhǎng),可求得∠OCA=∠ACP=60°(折疊的性質(zhì)),∠BCA=∠OAC=30°,由此可判斷出∠PCB的度數(shù).
(2)過(guò)P作PQ⊥OA于Q,在Rt△PAQ中,易知PA=OA=3,而∠PAO=2∠PAC=60°,即可求出AQ、PQ的長(zhǎng),進(jìn)而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo),將P、A坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可得到b、c的值,從而確定拋物線的解析式,然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可.
(3)根據(jù)拋物線的解析式易求得C、D、E點(diǎn)的坐標(biāo),然后分兩種情況考慮:
①DE是平行四邊形的對(duì)角線,由于CD∥x軸,且C在y軸上,若過(guò)D作直線CE的平行線,那么此直線與x軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn),而N點(diǎn)即為C點(diǎn),D、E的坐標(biāo)已經(jīng)求得,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo),而C點(diǎn)坐標(biāo)已知,即可得到N點(diǎn)的坐標(biāo);
②DE是平行四邊形的邊,由于A在x軸上,過(guò)A作DE的平行線,與y軸的交點(diǎn)即為N點(diǎn),而M點(diǎn)即為A點(diǎn);易求得∠DEA的度數(shù),即可得到∠NAO的度數(shù),已知OA的長(zhǎng),通過(guò)解直角三角形可求得ON的值,從而確定N點(diǎn)的坐標(biāo),而M點(diǎn)與A點(diǎn)重合,其坐標(biāo)已知;
同理,由于C在y軸上,且CD∥x軸,過(guò)C作DE的平行線,也可找到符合條件的M、N點(diǎn),解法同上.

解:(1)在Rt△OAC中,OA=,OC=1,則∠OAC=30°,∠OCA=60°;
根據(jù)折疊的性質(zhì)知:OA=AP=,∠ACO=∠ACP=60°;
∵∠BCA=∠OAC=30°,且∠ACP=60°,
∴∠PCB=30°.

(2)過(guò)P作PQ⊥OA于Q;

Rt△PAQ中,∠PAQ=60°,AP=;

∴OQ=AQ=,PQ=

所以P(, );

將P、A代入拋物線的表達(dá)式中,得:

解得;

即y=x2+x+1;

當(dāng)x=0時(shí),y=1,故C(0,1)在拋物線的圖象上.

(3)①若DE是平行四邊形的對(duì)角線,點(diǎn)C在y軸上,CD平行x軸,

∴過(guò)點(diǎn)D作DM∥CE交x軸于M,則四邊形EMDC為平行四邊形,

把y=1代入拋物線解析式得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,1)

把y=0代入拋物線解析式得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,0)

∴M(,0);N點(diǎn)即為C點(diǎn),坐標(biāo)是N(0,1);

②若DE是平行四邊形的邊,

過(guò)點(diǎn)A作AN∥DE交y軸于N,四邊形DANE是平行四邊形,

∴DE=AN===2,

∴∠EAN=30°,∠DEA=30°,

∴M(,0),N(0,-1)

同理過(guò)點(diǎn)C作CM∥DE交y軸于N,四邊形CMDE是平行四邊形,

∴M(-,0),N(0,1).

“點(diǎn)睛”此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換、二次函數(shù)解析式的確定、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí),同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,難度較大.

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)求二次函數(shù)的表達(dá)式.

)連接,求的長(zhǎng).

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