Question

如圖，在△ABC中，點D是AC上一點，且AB²=AD•AC，AE平分∠BAC交BD于點E，過E作EF∥AC交BC于點F，若BE=5，則CF的長為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：如圖作輔助線：過點E作EM⊥AB于M，作EG⊥AC于G，過點F作FN于N．則由角平分線的性質(zhì)證得ME=GE；根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形EGNF是平行四邊形，所以GE=NF．通過證明△BEM≌△CFN得到CF=BE．

解答：解：如圖，過點E作EM⊥AB于M，作EG⊥AC于G，過點F作FN⊥AC于N，則EG∥FN，
∵AE平分∠BAC，EF∥AC
∴ME=GE，四邊形EGNF是平行四邊形，
∴GE=NF，
∴ME=NF．
又∵AB²=AD•AC，
∴

AB

AC

=

AD

AB

，
∵∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴∠ABD=∠ACB，即∠MBE=∠NCF，
∴在△BEM與△CFN中，

∠MBE=∠NCF ∠BME=∠CNF ME=NF

，
∴△BEM≌△CFN（AAS），
∴CF=BE=5．
故填：5．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件．