(2010•攀枝花)如圖所示,已知直線y=x與拋物線y=ax2+b(a≠0)交于A(-4,-2),B(6,3)兩點(diǎn).拋物線與y軸的交點(diǎn)為C.
(1)求這個(gè)拋物線的解析式;
(2)在拋物線上存在點(diǎn)M,是△MAB是以AB為底邊的等腰三角形,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P使得△PAC的面積是△ABC面積的?若存在,試求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)A、B的坐標(biāo)即可求出拋物線的解析式;
(2)若等腰△MAB以AB為底邊,則M必為AB的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn);根據(jù)A、B的坐標(biāo),易求出其中點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可求出其垂直平分線的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)由于△BAC與△PAC同底不等高,那么它們的面積比等于底邊的比,可過(guò)B作BF⊥AC,求出△ABC的面積后即可得到BF的長(zhǎng);可在BF上截取BK=BF,那么P點(diǎn)必為過(guò)K點(diǎn)且平行于AC的直線與拋物線的交點(diǎn);可分別過(guò)A、F作y軸的垂線,設(shè)垂足為G、H,求出∠GAC、∠HFC的度數(shù),從而可得到∠BNx的度數(shù),而BN的長(zhǎng)求得,即可得出NK的值,從而求出K點(diǎn)的坐標(biāo);易求出直線AC的解析式,由于過(guò)K的直線與AC平行,那么它們的斜率相同,由此可求出直線KP的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)由題意,得:,
解得
∴拋物線的解析式為y=x2-6;

(2)如圖1,取AB的中點(diǎn)E,則E(1,);過(guò)E作直線l垂直于AB;
∵直線AB的解析式為:y=x,∴可設(shè)直線l的解析式為y=-2x+b;
∵直線l過(guò)E(1,),則有:=-2+b,b=;
∴直線l的解析式為:y=-2x+;聯(lián)立拋物線的解析式有:

解得,
∴M(-4+5,-10)或(-4-5,+10);

(3)過(guò)B作BF⊥AC于F,交x軸于N;
過(guò)F作FH⊥y軸于H,過(guò)A作AG⊥y軸于G;
在BF上截取BK=BF;
∵A(-4,-2),B(6,3),C(0,-6)
∴S△ABC=OC×|xB-xA|
=×6×10=30;
Rt△AGC中,AG=CG=4,則∠GAC=∠HFC=45°,AC=4;
∵∠BFC=90°,
∴∠BNx=∠BFH=90°-45°=45°;
易知BN=3,BK=BF=×=×=;
∴NK=BN-BK=;
由于∠BNx=45°,可求得K();
易知直線AC的解析式為:y=-x-6,過(guò)K作直線m平行于AC,可設(shè)直線m的解析式為:y=-x+h,則:
-+h=,h=;
∴直線m的解析式為y=-x+;
由于△ABC與△PAC等底不等高,
則面積比等于高的比,由于KF=BF,那么P點(diǎn)必為直線m與拋物線的交點(diǎn),聯(lián)立直線m與拋物線的解析式可得:

解得;
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,)或(-9,).
點(diǎn)評(píng):此題是二次函數(shù)的綜合類試題,涉及到二次函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的判定、函數(shù)圖象交點(diǎn)、三角形面積的求法等重要知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),難度較大.
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A.1<k<2
B.1≤k≤3
C.1≤k≤4
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A.56°
B.62°
C.28°
D.32°

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