(2010•攀枝花)如圖所示,已知直線y=x與拋物線y=ax2+b(a≠0)交于A(-4,-2),B(6,3)兩點.拋物線與y軸的交點為C.
(1)求這個拋物線的解析式;
(2)在拋物線上存在點M,是△MAB是以AB為底邊的等腰三角形,求點M的坐標(biāo);
(3)在拋物線上是否存在點P使得△PAC的面積是△ABC面積的?若存在,試求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)A、B的坐標(biāo)即可求出拋物線的解析式;
(2)若等腰△MAB以AB為底邊,則M必為AB的垂直平分線與拋物線的交點;根據(jù)A、B的坐標(biāo),易求出其中點的坐標(biāo),進而可求出其垂直平分線的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式即可得到M點的坐標(biāo);
(3)由于△BAC與△PAC同底不等高,那么它們的面積比等于底邊的比,可過B作BF⊥AC,求出△ABC的面積后即可得到BF的長;可在BF上截取BK=BF,那么P點必為過K點且平行于AC的直線與拋物線的交點;可分別過A、F作y軸的垂線,設(shè)垂足為G、H,求出∠GAC、∠HFC的度數(shù),從而可得到∠BNx的度數(shù),而BN的長求得,即可得出NK的值,從而求出K點的坐標(biāo);易求出直線AC的解析式,由于過K的直線與AC平行,那么它們的斜率相同,由此可求出直線KP的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式即可求得P點的坐標(biāo).
解答:解:(1)由題意,得:
解得;
∴拋物線的解析式為y=x2-6;

(2)如圖1,取AB的中點E,則E(1,);過E作直線l垂直于AB;
∵直線AB的解析式為:y=x,∴可設(shè)直線l的解析式為y=-2x+b;
∵直線l過E(1,),則有:=-2+b,b=;
∴直線l的解析式為:y=-2x+;聯(lián)立拋物線的解析式有:
,
解得,
∴M(-4+5,-10)或(-4-5,+10);

(3)過B作BF⊥AC于F,交x軸于N;
過F作FH⊥y軸于H,過A作AG⊥y軸于G;
在BF上截取BK=BF;
∵A(-4,-2),B(6,3),C(0,-6)
∴S△ABC=OC×|xB-xA|
=×6×10=30;
Rt△AGC中,AG=CG=4,則∠GAC=∠HFC=45°,AC=4
∵∠BFC=90°,
∴∠BNx=∠BFH=90°-45°=45°;
易知BN=3,BK=BF=×=×=
∴NK=BN-BK=;
由于∠BNx=45°,可求得K(,);
易知直線AC的解析式為:y=-x-6,過K作直線m平行于AC,可設(shè)直線m的解析式為:y=-x+h,則:
-+h=,h=
∴直線m的解析式為y=-x+;
由于△ABC與△PAC等底不等高,
則面積比等于高的比,由于KF=BF,那么P點必為直線m與拋物線的交點,聯(lián)立直線m與拋物線的解析式可得:
,
解得;
∴P點的坐標(biāo)為(5,)或(-9,).
點評:此題是二次函數(shù)的綜合類試題,涉及到二次函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的判定、函數(shù)圖象交點、三角形面積的求法等重要知識點,綜合性強,難度較大.
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(2)在拋物線上存在點M,是△MAB是以AB為底邊的等腰三角形,求點M的坐標(biāo);
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C.1≤k≤4
D.1≤k<4

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A.56°
B.62°
C.28°
D.32°

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