Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形，D是BC邊上的一個動點（點D不與B，C重合）△ADF是以AD為邊的等邊三角形，過點F作BC的平行線交射線AC于點E，連接BF．

（1）如圖1，求證：△AFB≌△ADC；

（2）請判斷圖1中四邊形BCEF的形狀，并說明理由；

（3）若D點在BC 邊的延長線上，如圖2，其它條件不變，請問（2）中結論還成立嗎？如果成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BCEF是平行四邊形；（3）成立

【解析】試題分析：（1）利用有兩條邊對應相等并且夾角相等的兩個三角形全等即可證明△AFB≌△ADC；

（2）四邊形BCEF是平行四邊形，因為△AFB≌△ADC，所以可得∠ABF=∠C=60°，進而證明∠ABF=∠BAC，則可得到FB∥AC，又BC∥EF，所以四邊形BCEF是平行四邊形；

（3）易證AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，可得∠FAB=∠DAC，即可證明△AFB≌△ADC；根據△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC，進而求得∠AFB=∠EAF，求得BF∥AE，又BC∥EF，從而證得四邊形BCEF是平行四邊形．

證明：（1）∵△ABC和△ADF都是等邊三角形，

∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，

又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，

∴∠FAB=∠DAC，

在△AFB和△ADC中，

，

∴△AFB≌△ADC（SAS）；

（2）由①得△AFB≌△ADC，

∴∠ABF=∠C=60°．

又∵∠BAC=∠C=60°，

∴∠ABF=∠BAC，

∴FB∥AC，

又∵BC∥EF，

∴四邊形BCEF是平行四邊形；

（3）成立，理由如下：

∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，

∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，

又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，

∴∠FAB=∠DAC，

在△AFB和△ADC中，

，

∴△AFB≌△ADC（SAS）；

∴∠AFB=∠ADC．

又∵∠ADC+∠DAC=60°，∠EAF+∠DAC=60°，

∴∠ADC=∠EAF，

∴∠AFB=∠EAF，

∴BF∥AE，

又∵BC∥EF，

∴四邊形BCEF是平行四邊形．