Question

【題目】（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC上的一點(diǎn)，將圖形沿線段DE所在的直線翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處求證：；

（2）如圖2，按圖1的翻折方式，若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，當(dāng)時(shí)，求的值；

（3）如圖3，在中，，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，在BC的下方作射線BE，使得，點(diǎn)P是射線BE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)，求BP的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）2或6

【解析】

（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)證明∠BDF=∠EFC，從而可得△BDF∽△CFE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；

（2）過(guò)D作DH⊥BC．設(shè)BF=x，則CF=4-x．設(shè)EF=2a，則DF=3a，AE=2a，BD=4-AD=4-3a，CE=4-AE=4-2a，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出x、a的值，從而求得BD、DF、DH的長(zhǎng)，根據(jù)正弦的定義即可得出結(jié)論；

（3）解Rt△ABC得到BC、AB、BD的長(zhǎng)．過(guò)C作CF⊥BC，交BE于F，解Rt△BCF，得到CF、BF的長(zhǎng)．通過(guò)證明△DBPΔPFC，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．

（1），

又，

，

．

又，

，

，

即．

（2）過(guò)D作．

設(shè)，則．

設(shè)，則，AE=2a，

，

．

由（1）知，

，

即，

，

，

，

．

，

，

．

（3）∵，

∴，

，

∴．

過(guò)C作，交BE于F．

∵∠CBF=30°，

∴CF=BC=，

∴CF=4，∴BF=2CF=8．

∵，

．

∴，

又，

∴，

∴，即，

∴或6．