Question

【題目】如圖，在ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點(diǎn)E、F，AE、BF相交于點(diǎn)M．
（1）試說(shuō)明：AE⊥BF；
（2）判斷線段DF與CE的大小關(guān)系，并予以說(shuō)明．

Answer 1

【答案】
（1）解：方法一：如圖①，

∵在ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°．

∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，

∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF

∴2∠BAE+2∠ABF=180°．

即∠BAE+∠ABF=90°．

∴∠AMB=90°．

∴AE⊥BF．

方法二：如圖②，延長(zhǎng)BC、AE相交于點(diǎn)P，

∵在ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAP=∠APB．

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAP=∠PAB．

∴∠APB=∠PAB．

∴AB=BP．

∵BF平分∠ABP，

∴AP⊥BF，

即AE⊥BF．

（2）解：方法一：線段DF與CE是相等關(guān)系，即DF=CE，

∵在ABCD中，CD∥AB，

∴∠DEA=∠EAB．

又∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE=∠EAB．

∴∠DEA=∠DAE．

∴DE=AD．（6分）

同理可得，CF=BC．

又∵在ABCD中，AD=BC，

∴DE=CF．

∴DE﹣EF=CF﹣EF．

即DF=CE．

方法二：如圖，延長(zhǎng)BC、AE設(shè)交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)AD、BF相交于點(diǎn)O，

∵在ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAP=∠APB．

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAP=∠PAB．

∴∠APB=∠PAB．

∴BP=AB．

同理可得，AO=AB．

∴AO=BP．

∵在ABCD中，AD=BC，

∴OD=PC．

又∵在ABCD中，DC∥AB，

∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA．

∴ = ， = ．

∴DF=CE．

【解析】（1）因?yàn)锳E，BF分別是∠DAB，∠ABC的角平分線，那么就有∠MAB= ∠DAB，∠MBA= ∠ABC，而∠DAB與∠ABC是同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，所以，能得到∠MAB+∠MBA=90°，即得證．（2）兩條線段相等．利用平行四邊形的對(duì)邊平行，以及角平分線的性質(zhì)，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=BC=AD=DE，再利用等量減等量差相等，可證．