Question

【題目】已知是一段圓弧上的兩點，有在直線的同側，分別過這兩點作的垂線，垂足為， 是上一動點，連結，且．

（1）如圖①，如果，且，求的長．

（2）（i）如圖②，若點E恰為這段圓弧的圓心，則線段之間有怎樣的等量關系？請寫出你的結論并予以證明．

（ii）再探究：當分別在直線兩側且，而其余條件不變時，線段之間又有怎樣的等量關系？請直接寫出結論，不必證明．

Answer 1

【答案】（1）;（2）（i）,證明見解析;（ii）當A、D分別在直線兩側時，線段AB、BC、CD有如下等量關系： （）或（）.

【解析】解：（1）∵AB⊥于B，DC⊥于C，

∴∠ABE=∠ECD＝90°．

∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°，且∠AED＝90°，

∴∠CED＝90°－∠BEA．

又∠BAE＝90°－∠BEA，

∴∠BAE＝∠CED．

∴Rt△ABE∽Rt△ECD．

（或：∵AB⊥于B，DC⊥于C，∴AB∥DC．∴Rt△ABE∽Rt△ECD）．

∴．

∵， ，

∴．

又，∴．

在中，由勾股定理，得

∴ ．

（2）（i）猜想： ．

證明：在Rt△ABE中，∵∠ABE=90°，

∴∠BAE=90°－∠AEB．

又∵∠AEB+∠AED+∠CED＝180°，

且∠AED＝90°，

∴∠CED=90°－∠AEB．

∴∠BAE＝∠CED．

∵DC⊥BC于點C，∴∠ECD＝90°．

由已知，有．

于是在Rt△ABE和Rt△ECD中，

∵∠ABE=∠ECD＝90°，∠BAE＝∠CED， ，

∴Rt△ABE≌Rt△ECD．（AAS）

∴．

∴．即．

（ii）當A、D分別在直線兩側時，線段AB、BC、CD有如下等量關系：

（）或（）.