【題目】有兩張完全重合的矩形紙片,小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF(如圖1),連接BD、MF,若此時(shí)他測得BD=8cm,∠ADB=30度.請(qǐng)回答下列問題:(1)試探究線段BD與線段MF的關(guān)系,并簡要說明理由;
(2)小紅同學(xué)用剪刀將△BCD與△MEF剪去,與小亮同學(xué)繼續(xù)探究.他們將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AB1D1,AD1交FM于點(diǎn)K(如圖2),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β(0°<β<90°),當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù);
(3)若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2(如圖3),F(xiàn)2M2與AD交于點(diǎn)P,A2M2與BD交于點(diǎn)N,當(dāng)NP∥AB時(shí),求平移的距離是多少?
【答案】(1)BD=MF,BD⊥MF.理由見解析;
(2)β的度數(shù)為60°或15°;
(3)平移的距離是(6﹣2)cm.
【解析】
試題(1)有兩張完全重合的矩形紙片,小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF(如圖1),得BD=MF,△BAD≌△MAF,推出BD=MF,∠ADB=∠AFM=30°,進(jìn)而可得∠DNM的大。
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論.
(3)求平移的距離是A2A的長度.在矩形PNA2A中,A2A=PN,只要求出PN的長度就行.用△DPN∽△DAB得出:,解得A2A的大。
試題解析:(1)BD=MF,BD⊥MF.
延長FM交BD于點(diǎn)N,
由題意得:△BAD≌△MAF.
∴BD=MF,∠ADB=∠AFM.
又∵∠DMN=∠AMF,
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°,
∴∠DNM=90°,
∴BD⊥MF;
(2)當(dāng)AK=FK時(shí),∠KAF=∠F=30°,
則∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°,
即β=60°;
②當(dāng)AF=FK時(shí),∠FAK==75°,
∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°,
即β=15°;
∴β的度數(shù)為60°或15°;
(3)由題意得矩形PNA2A.設(shè)A2A=x,則PN=x,
在Rt△A2M2F2中,∵F2M2=FM=8,
∴A2M2=4,A2F2=4,∴AF2=4﹣x.
∵∠PAF2=90°,∠PF2A=30°,
∴AP=AF2tan30°=4﹣x.
∴PD=AD﹣AP=4﹣4+x.
∵NP∥AB,
∴∠DNP=∠B.
∵∠D=∠D,
∴△DPN∽△DAB.
∴.
∴,
解得x=6﹣2.
即A2A=6﹣2.
答:平移的距離是(6﹣2)cm.
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【題目】在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)和函數(shù)(m是常數(shù),且)的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
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【題目】由我國完全自主設(shè)計(jì)、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗(yàn)任務(wù).如圖,航母由西向東航行,到達(dá)處時(shí),測得小島位于它的北偏東方向,且與航母相距80海里,再航行一段時(shí)間后到達(dá)B處,測得小島位于它的北偏東方向.如果航母繼續(xù)航行至小島的正南方向的處,求還需航行的距離的長.
(參考數(shù)據(jù):,,,,,)
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【題目】如圖,AB 是⊙O 的弦,半徑OE⊥ AB ,P 為 AB 的延長線上一點(diǎn),PC 與⊙O相切于點(diǎn) C,連結(jié) CE,交 AB 于點(diǎn) F,連結(jié) OC.
(1)求證:PC=PF.
(2)連接 BE,若∠CEB=30°,半徑為 8,tan P ,求 FB 的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=60°,∠C=45°,點(diǎn)D,E分別為邊AB,AC上的點(diǎn),且DE∥BC,BD=DE=2,CE=,BC=.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度沿B→D→E→C勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止.過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q,設(shè)△BPQ的面積為S,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為( 。
A. B.
C. D.
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【題目】如圖,往豎直放置的在A處由短軟管連接的粗細(xì)均勻細(xì)管組成的“U”形裝置中注入一定量的水,水面高度為6cm,現(xiàn)將右邊細(xì)管繞A處順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AB位置,且左邊細(xì)管位置不變,則此時(shí)“U”形裝置左邊細(xì)管內(nèi)水柱的高度約為( 。
A. 4cmB. 2cmC. 3cmD. 8cm
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【題目】平行四邊形ABOC在平面直角坐標(biāo)系中,A、B的坐標(biāo)分別為(﹣3,3),(﹣4,0).則過C的雙曲線表達(dá)式為:_____.
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,若拋物線l:y=﹣x2+bx+c(b,c為常數(shù))的頂點(diǎn)D位于直線y=﹣2與x軸之間的區(qū)域(不包括直線y=﹣2和x軸),則l與直線y=﹣1交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( 。
A. 0個(gè)B. 1個(gè)或2個(gè)
C. 0個(gè)、1個(gè)或2個(gè)D. 只有1個(gè)
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【題目】某校對(duì)A《唐詩》、B《宋詞》、C《蒙山童韻》、D其它,這四類著作開展“最受歡迎的傳統(tǒng)文化著作”調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了若干名學(xué)生(每名學(xué)生必選且只能選這四類著作中的一種)并將得到的信息繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
(1)求一共調(diào)查了多少名學(xué)生;
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)該校語文老師想從這四類著作中隨機(jī)選取兩類作為學(xué)生寒假必讀書籍,請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法求恰好選中《宋詞》和《蒙山童韻》的概率.
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