Question

【題目】如圖1，有一張矩形紙片ABCD，已知AB=10，AD=12，現將紙片進行如下操作：現將紙片沿折痕BF進行折疊，使點A落在BC邊上的點E處，點F在AD上（如圖2）；然后將紙片沿折痕DH進行第二次折疊，使點C落在第一次的折痕BF上的點G處，點H在BC上（如圖3），給出四個結論：

①AF的長為10；②△BGH的周長為18；③=；④GH的長為5，

其中正確的結論有________．（寫出所有正確結論的番號）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

過G點作MN∥AB，交AD、BC于點M、N，可知四邊形ABEF為正方形，可求得AF的長，可判斷①，且△BNG和△FMG為等腰三角形，設BN＝x，則可表示出GN、MG、MD，利用折疊的性質可得到CD＝DG．在Rt△MDG中，利用勾股定理可求得x，再利用△MGD∽△NHG，可求得NH、GH和HC，則可求得BH，容易判斷②③④，可得出答案．

如圖，過點G作MN∥AB，分別交AD、BC于點M、N．

∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝12，由折疊可得：AB＝BE，且∠A＝∠ABE＝∠BEF＝90°，∴四邊形ABEF為正方形，∴AF＝AB＝10，故①正確；

∵MN∥AB，∴△BNG和△FMG為等腰直角三角形，且MN＝AB＝10，設BN＝x，則GN＝AM＝x，MG＝MN﹣GN＝10﹣x，MD＝AD﹣AM＝12﹣x，又由折疊的可知DG＝DC＝10．在Rt△MDG中，由勾股定理可得：MD2+MG2＝GD2，即（12﹣x）2+（10﹣x）2＝102，解得：x=18（舍去），x＝4，∴GN＝BN＝4，MG＝6，MD＝8，又∠DGH＝∠C＝∠GMD＝90°，∴∠NGH+∠MGD＝∠MGD+∠MDG＝90°，∴∠NGH＝∠MDG，且∠DMG＝∠GNH，∴△MGD∽△NHG，∴，即，∴NH＝3，GH＝CH＝5，∴BH＝BC﹣HC＝12﹣5＝7，故④正確；

又∵△BNG和△FMG為等腰直角三角形，且BN＝4，MG＝6，∴BG＝4，GF＝6，∴△BGH的周長＝BG+GH+BH＝45+7＝12+4，故②不正確；③正確；

綜上可知正確的為①③④．

故答案為①③④．