Question

【題目】（閱讀）如圖①，是等邊三角形，將直角三角板的角頂點放在邊上（點不與點、重合），使兩邊分別交邊、于點、．進而可證：．

小明的做法是，先證，再證，可證得∽．

（探究）如圖②，將等邊三角形沿折痕折疊，使點的對稱點落在邊上（點不與點、重合），求證：∽．

（應用）若圖②中的，，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】【探究】證明見解析；【應用】．

【解析】

【探究】

由折疊的性質(zhì)可知∠MDN=∠C=60°，然后根據(jù)平角的定義和三角形的內(nèi)角和定理可得∠AMD=∠BDN，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定方法即可證得結(jié)論；

【應用】

設CM=MD=x，CN=DN=y，則有AM=3－x，BN=3－y，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于x、y的方程組，解方程組即可求出x、y的值，問題即得解決．

解：【探究】∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

∵將等邊△沿折痕折疊，點的對稱點落在邊上，

∴∠MDN=∠C=60°，

∴∠ADM+∠BDN=120°，

∵∠ADM+∠AMD=180°－∠A=180°－60°=120°，

∴∠AMD=∠BDN，

∴∽；

【應用】∵將等邊△沿折痕折疊，點的對稱點落在邊上，

∴CM=MD，CN=DN，

設CM=MD=x，CN=DN=y，

∵AB=AC=BC=3，AD=1，

∴AM=3－x，BN=3－y，BD=2，

∵∽，

∴，

即，解得：，，

∴．