Question

【題目】已知：如圖，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDE＝90°，點F是AE的中點，連接DF，CF．

（1）如圖1，點D，E分別在AB，BC邊上，填空：CF與DF的數(shù)量關(guān)系是　 　，位置關(guān)系是　 　；

（2）如圖2，將圖1中的△BDE繞B順時針旋轉(zhuǎn)45°得到圖2，請判斷（1）中CF與DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立，如果成立，請加以證明；如果不成立，請說明理由；

（3）如圖3，將圖1中的△BDE繞B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到圖3，如果BD＝2，AC＝3，請直接寫出CF的長．

Answer 1

【答案】（1）CF＝DF，CF⊥DF；（2）成立，證明見解析；（3）．

【解析】

（1）如圖1中，結(jié)論：CF＝DF，CF⊥DF．利用直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)即可解決問題．

（2）成立．如圖2中，延長DF交AC于H．證明△AFH≌△EFD（ASA），即可解決問題．

（3）如圖3中，延長DF交AB于H，連接CH，CD．證明△AFH≌△EFD（ASA），推出DF＝FH，AH＝DE＝DB，再證明△CAH≌△CBD（SAS），即可解決問題．

解：（1）結(jié)論：CF＝DF，CF⊥DF．

理由：如圖1中，

∵∠ACE＝ADE＝90°，AF＝FE，

∴CF＝AF＝FE＝AE，DF＝AF＝FE＝AE，

∴CF＝DF，

∴∠FAC＝∠FCA，∠FAD＝∠FDA，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝45°，

∵∠CFE＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，∠EFD＝∠FAD+∠FDA＝2∠FAD，

∴∠CFD＝∠CFE+∠EFD＝2（∠FAC+∠FAD）＝2∠CAD＝90°，

∴CF⊥DF．

故答案為：CF＝DF，CF⊥DF．

（2）成立．

理由：如圖2中，延長DF交AC于H．

∵∠ACD＝∠BDE＝∠CDE＝90°，

∴AC∥DE，

∴∠FED＝∠FAH，

∵∠AFH＝∠EFD，FA＝FE，

∴△AFH≌△EFD（ASA），

∴DF＝FH，

∵∠HCD＝90°，

∴CF＝FH＝FD，CF⊥DF．

（3）如圖3中，延長DF交AB于H，連接CH，CD．

∵∠ABD＝∠CDE＝90°，

∴DE∥AB，

∴∠FED＝∠FAH，

∵∠AFH＝∠EFD，FA＝FE，

∴△AFH≌△EFD（ASA），

∴DF＝FH，AH＝DE＝DB，

∵∠CAH＝∠CBA＝∠CBD＝45°，CA＝CB，

∴△CAH≌△CBD（SAS），

∴CH＝CD，∠ACH＝∠BCD，

∴∠HCD＝∠ACB＝90°，∵FH＝FD，

∴CF⊥DF，CF＝FH＝DF．

∵AC＝CB＝3，

∴AB＝AC＝6，

∵AH＝BD＝2，

∴BH＝6﹣2＝4，

在Rt△BDH中，DH＝＝2，

∴CF＝DF＝FH＝．