Question

（2010•聊城）如圖，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點(diǎn)D，連接BD．
（1）若AD=3，BD=4，求邊BC的長(zhǎng)；
（2）取BC的中點(diǎn)E，連接ED，試證明ED與⊙O相切．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)勾股定理易求AB的長(zhǎng)；根據(jù)△ABD∽△ACB得比例線段可求BC的長(zhǎng)．
（2）連接OD，證明DE⊥OD．
解答：（1）解：∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC．
在RT△ADB中，∵AD=3，BD=4，
∴由勾股定理得AB=5．
∵∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴△ABD∽△ACB，
∴=，
即=，
∴BC=；


（2）證明：連接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD；
又∵E是BC的中點(diǎn)，BD⊥AC，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD．
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD．
∴ED與⊙O相切．
點(diǎn)評(píng)：①直角三角形斜邊上的高分得的兩個(gè)三角形與原三角形相似；
②證過(guò)圓上一點(diǎn)的直線是切線，常作的輔助線是連接圓心和該點(diǎn)，證直線和半徑垂直．