Question

【題目】請你認(rèn)真閱讀下面的小探究系列，完成所提出的問題．

（1）如圖1，將角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)D重合，角尺的一邊交CB于點(diǎn)F，將另一邊交BA的延長線于點(diǎn)G．求證：EF=EG．

（2）如圖2，移動角尺，使角尺的頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對角線BD上，其余條件不變，請你思考后直接回答EF和EG的數(shù)量關(guān)系：EF　 　EG（用“=”或“≠”填空）

（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的活動經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識，完成下題：如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一邊經(jīng)過點(diǎn)A（即點(diǎn)G、A重合），其余條件不變，若AB=4，BC=3，求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）=；（3）.

【解析】試題分析：（1）證明△EAG≌△ECF即可得出結(jié)論；

（2）過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，由（1）同理證出△EMG≌△ENF得出結(jié)論；

（3）過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，由（2）得出經(jīng)驗，證得結(jié)論則需要通過由平行線得出比例式和兩三角形相似得出比例式來解決．

試題解析：（1）證明：∵∠AEF+∠AEG=90°，∠AEF+∠CEF=90°，

∴∠AEG=∠CEF，

又∵∠GAE=∠C=90°，EA=EC，

∴△EAG≌△ECF（ASA）

∴EG=EF

（2）EF=EG；

過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，如圖2所示，

則∠MEN=90°，EM=EN，

∴∠GEM=∠FEN，

又因為∠EMG=∠ENF=90°，

∴△EMG≌△ENF

∴EF=EG．

故答案為：=．

（3）過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，如圖3所示：

則∠MEN=90°，EM∥BC，EN∥AB，

∴，

∴，

又∵∠GEM+∠MEF=90°，∠FEN+∠MEF=90°，

∴∠FEN=∠GEM，

∴Rt△GME∽Rt△FNE，

∴.