Question

【題目】學校為獎勵在藝術節(jié)系列活動中表現優(yōu)秀的同學，計劃購買甲、乙兩種獎品．已知購買甲種獎品30件和乙種獎品25件需花費1950元，購買甲種獎品15件和乙種獎品35件需花費1650元．

（1）求甲、乙兩種獎品的單價；

（2）學校計劃購買甲、乙兩種獎品共1800件，其中購買乙種獎品的件數不超過甲種獎品件數的2倍，學校分別購買甲、乙兩種獎品多少件才能使總費用最小？最小費用是多少元？

Answer 1

【答案】（1）甲單價為40元/件，乙單價為30元/件；（2）600件甲種獎品、1200件乙種獎品時，總費用最小，最小費用是60000元

【解析】

（1）設甲種獎品的單價為x元/件，乙種獎品的單價為y元/件，根據“購買甲種獎品30件和乙種獎品25件需花費1950元，購買甲種獎品15件和乙種獎品35件需花費1650元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）設購買甲種獎品m件，則購買乙種獎品（1800﹣m）件，設購買兩種獎品的總費用為w，由購買乙種獎品的件數不超過甲種獎品件數的2倍，可得出關于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，再由總價＝單價×數量，可得出w關于m的函數關系式，利用一次函數的性質即可解決最值問題．

（1）設甲種獎品的單價為x元/件，乙種獎品的單價為y元/件，

依題意，得：，

解得：．

答：甲種獎品的單價為40元/件，乙種獎品的單價為30元/件．

（2）設購買甲種獎品m件，則購買乙種獎品（1800﹣m）件，設購買兩種獎品的總費用為w，

∵購買乙種獎品的件數不超過甲種獎品件數的2倍，

∴1800﹣m≤2m，

∴m≥600．

依題意，得：w＝40m+30（1800﹣m）＝10m+54000，

∵10＞0，

∴w隨m值的增大而增大，

∴當學習購買600件甲種獎品、1200件乙種獎品時，總費用最小，最小費用是60000元．