【題目】如圖,半圓O的直徑AB=20,弦CD∥AB,動點M在半徑OD上,射線BM與弦CD相交于點E(點E與點C、D不重合),設(shè)OM=m.
(1)求DE的長(用含m的代數(shù)式表示);
(2)令弦CD所對的圓心角為α,且sin.
①若△DEM的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出m的取值范圍;
②若動點N在CD上,且CN=OM,射線BM與射線ON相交于點F,當∠OMF=90° 時,求DE的長.
【答案】(1)DE=;(2)①S=,(<m<10),②DE=.
【解析】
(1)由CD∥AB知△DEM∽△OBM,可得,據(jù)此可得;
(2)①連接OC、作OP⊥CD、MQ⊥CD,由OC=OD、OP⊥CD知∠DOP=∠COD,據(jù)此可得sin∠DOP=sin∠DMQ=、sin∠ODP=,繼而由OM=m、OD=10得QM=DMsin∠ODP=(10﹣m),根據(jù)三角形的面積公式即可得;如圖2,先求得PD=8、CD=16,證△CDM∽△BOM得,求得OM=,據(jù)此可得m的取值范圍;
②如圖3,由BM=OBsin∠BOM=10×=6,可得OM=8,根據(jù)(1)所求結(jié)果可得答案.
(1)∵CD∥AB,
∴△DEM∽△OBM,
∴,即,
∴DE=;
(2)①如圖1,連接OC、作OP⊥CD于點P,作MQ⊥CD于點Q,
∵OC=OD、OP⊥CD,
∴∠DOP=∠COD,
∵sin=,
∴sin∠DOP=sin∠DMQ=,sin∠ODP=,
∵OM=m、OD=10,
∴DM=10﹣m,
∴QM=DMsin∠ODP=(10﹣m),
則S△DEM=DEMQ=××(10﹣m)=,
如圖2,
∵PD=ODsin∠DOP=10×=8,
∴CD=16,
∵CD∥AB,
∴△CDM∽△BOM,
∴,即,
解得:OM=,
∴<m<10,
∴S=,(<m<10).
②當∠OMF=90°時,如圖3,
則∠BMO=90°,
在Rt△BOM中,BM=OBsin∠BOM=10×=6,
則OM=8,
由(1)得DE=.
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【題目】隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展,人們?nèi)ド虉鲑徫锏闹Ц斗绞礁佣鄻印⒈憬荩承?shù)學興趣小組設(shè)計了一份調(diào)查問卷,要求每人選且只選一種你最喜歡的支付方式.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果進行統(tǒng)計并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題:
(1)這次活動共調(diào)查了 人;在扇形統(tǒng)計圖中,表示“支付寶”支付的扇形圓心角的度數(shù)為 ;
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整.觀察此圖,支付方式的“眾數(shù)”是“ ”;
(3)在一次購物中,小明和小亮都想從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進行支付,請用畫樹狀圖或列表格的方法,求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.
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【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,AB=4,矩形OBDC的邊CD=1,延長DC交拋物線于點E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點P是直線EO上方拋物線上的一個動點,過點P作y軸的平行線交直線EO于點G,作PH⊥EO,垂足為H.設(shè)PH的長為l,點P的橫坐標為m,求l與m的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出m的取值范圍),并求出l的最大值;
(3)如果點N是拋物線對稱軸上的一點,拋物線上是否存在點M,使得以M,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,大樓底右側(cè)有一障礙物,在障礙物的旁邊有一棟小樓DE,在小樓的頂端D處測得障礙物邊緣點C的俯角為,測得大樓頂端A的仰角為點B,C,E在同一水平直線上已知,,則障礙物B,C兩點間的距離為______結(jié)果保留根號
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【題目】今年“五一”節(jié),小明外出爬山,他從山腳爬到山頂?shù)倪^程中,中途休息了一段時間.設(shè)他從山腳出發(fā)后所用的時間為t(分鐘),所走的路程為s(米),s與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,下列說法錯誤的是( )
A.小明中途休息用了20分鐘
B.小明休息前爬山的平均速度為每分鐘70米
C.小明在上述過程中所走的路程為6600米
D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣2,與x軸的一個交點在(﹣3,0)和(﹣4,0)之間,其部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①4a﹣b=0;②c<0;③﹣3b+4c>0;④4a﹣2b≥at2+bt(t為實數(shù));⑤點(﹣,y1),(﹣,y2),(﹣,y3)是該拋物線上的點,則y1<y2<y3,其中正確的結(jié)論有( 。
A. ②④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=4,以BC的中點O為圓心分別與AB,AC相切于D、E兩點,則的長為( 。
A. B. C. D. π
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【題目】在平面直角坐標系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的實數(shù)根,比如對于方程x2﹣5x+2=0,操作步驟是:第一步:根據(jù)方程系數(shù)特征,確定一對固定點A(0,1),B(5,2);第二步:在坐標平面中移動一個直角三角板,使一條直角邊恒過點A,另一條直角邊恒過點B;第三步:在移動過程中,當三角板的直角頂點落在x軸上點C處時,點C的橫坐標m即為該方程的一個實數(shù)根(如圖1);第四步:調(diào)整三角板直角頂點的位置,當它落在x軸上另一點D處時,點D的橫坐標為n即為該方程的另一個實數(shù)根;(1)在圖2中,按照“第四步“的操作方法作出點D(請保留作出點D時直角三角板兩條直角邊的痕跡);(2)結(jié)合圖1,請證明“第三步”操作得到的m就是方程x2﹣5x+2=0的一個實數(shù)根.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3,頂點為E,該拋物線與x軸交于A,B兩點,與y軸交子點C,且OB=OC=3OA,直線y=﹣x+1與y軸交于點D.求∠DBC﹣∠CBE=_____.
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