Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B坐標(biāo)分別為A（0，a）、B（b，a），且a，b滿足：（a-3）2+=0，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A、B分別向下平移3個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D，連接AC、BD、AB．

（1）求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)及四邊形ABDC的面積S四邊形ABDC；

（2）在y軸上是否存在點(diǎn)M，連接MC、MD，使S△MCD=四邊形ABDC？若存在這樣的點(diǎn)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．

（3）點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PO，當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動(dòng)時(shí)（不與B、D重合），的值是否發(fā)生變化，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）S四邊形ABDC=15；（2）存在點(diǎn)M（0，6）或（0，-6），使S△MCD=S四邊形ABDC ，見解析；（3）不變，見解析.

【解析】

（1）由偶次方及算術(shù)平方根的非負(fù)性可求出a、b的值，進(jìn)而即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)以及四邊形ABDC為平行四邊形，套用平行四邊形的面積公式即可求出四邊形ABDC的面積；

（2）設(shè)存在點(diǎn)M（0，y），根據(jù)三角形的面積結(jié)合S△MCD=S四邊形ABDC，即可得出關(guān)于y的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；

（3）過P點(diǎn)作PE∥AB交OC與E點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，故比值為1．

解：（1）∵（a-3）2+=0，

∴a=3，b=5，

∴點(diǎn)A（0，3），B（5，3）．

將點(diǎn)A，B分別向下平移3個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)C、D，

∴點(diǎn)C（-1，0），D（4，0）．

由AB平移得出CD可知，AB∥CD，且AB=CD=5，

∴四邊形ABDC為平行四邊形，

∴S四邊形ABDC=5×3=15．

（2）設(shè)存在點(diǎn)M（0，y），

根據(jù)題意得：S△MCD=×5|y|=S四邊形ABDC=15，

∴×5|y|=15，解得：y=±6，

∴存在點(diǎn)M（0，6）或（0，-6），使S△MCD=S四邊形ABDC．

（3）當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動(dòng)時(shí)，=1不變，理由如下：

過點(diǎn)P作PE∥AB交OA于E．

∵CD由AB平移得到，則CD∥AB，

∴PE∥CD，

∴∠BAP=∠APE，∠DOP=∠OPE，

∴∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，

∴=1．