Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（3，0），直線l與x軸正半軸夾角為

30°，點B為直線l上的一個動點，延長AB至點C，使得AB=BC，過點C作CD⊥x軸于點D，交直線l于點F，過點A作AE∥l交直線CD于點E．

（1）若點B的橫坐標為6，則點C的坐標為(______，_____)，DE的長為        ；

（2）若點B的橫坐標大于3，則線段CF的長度是否發(fā)生改變？若不變，請求出線段CF的長度；若改變，請說明理由；

（3）連結BE，在點B的運動過程中，以OB為直徑的⊙P與△ABE某一邊所在的直線相切，請求出所

有滿足條件的DE的長．

Answer 1

（1點C的坐標為(______，_____)，DE的長為        ；

   （1）C(9，) ,   DE=;      …………4分

（2）如圖（1），過點A作AM⊥x軸于M ，

  ∴∠OAM=90°,  ∠BOA=30°,

      ∴AM=OAtan∠BOA=．…………2分

  ∵B為AC的中點，

 ∴AB=BC  

又∵AM∥CF,

  ∴∠AMB=∠CFB ，∠MAB=∠FCB,

     ∴⊿ABM≌⊿CBF      

  ∴CF=AM=．

   ∴線段CF的長度保持不變．   …………2分

（3）如圖1，過點B作BG⊥x軸于點G．

   易證， OB=2BG ,CD=2BG,

         ∴OB=CD．

(I)當點D在點A的右側時，⊙P只能與BE相切，如圖2．

  設DE=, 則OB=CD=．

     ∵⊙P與BE相切于點B，

     ∴OB⊥BE．    

     易得BF=EF=．

     ∴OF=OB+BF=．

    ∴OF=2DF,

    ∴=．

     解得．

        ∴ DE=．     …………2分

（II）當點D在線段OA上時，

    ①若⊙P與直線AE相切，如圖3，

     易得，直線l與AE的距離是．

      ∴ OB=3．

      ∴ CD=3．

       ∴DE=2CF-CD=．    …………2分

②當⊙P與AB相切，如圖4．

         ∴∠OBA=90°．

       ∴OB=OAtan∠OBA=.

       ∴CD=.

       ∴ DE=2CF-CD==．    …………1分

   (III)當點D在點O的左側時，⊙P只能與直線AE相切，如圖5

       ∵ 直線l與AE的距離是，

         ∴ OB=3．

        ∴ CD=3．

     ∴ DE=2CF+CD=．   

綜上所述，DE的長為或或 ．  …………1分