18.如圖,△ABC是等邊三角形,AB=4cm,CD⊥AB于點D,動點P從點A出發(fā),沿AC以1cm/s的速度向終點C運動,當(dāng)點P出發(fā)后,過點P作PQ∥BC交折線AD-DC于點Q,以PQ為邊作等邊三角形PQR,設(shè)四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形的面積為S(cm2),點P運動的時間為t(s).
(1)當(dāng)點Q在線段AD上時,用含t的代數(shù)式表示QR的長;
(2)求點R運動的路程長;
(3)當(dāng)點Q在線段AD上時,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)直接寫出以點B、Q、R為頂點的三角形是直角三角形時t的值.

分析 (1)當(dāng)點Q在線段AD上時,如圖1,根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形證明四邊形APRQ是菱形,則QR=AP=t;
(2)如圖2,當(dāng)點Q在線段AD上運動時,點R的運動的路程長為AR,當(dāng)點Q在線段CD上運動時,點R的運動的路程長為CR,分別求長并相加即可;
(3)分兩種情況:
①當(dāng)0<t≤$\frac{4}{3}$時,四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形的面積是菱形APRQ的面積,
②當(dāng)$\frac{4}{3}$<t≤2時,四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形的面積是五邊形APFMQ的面積,
分別計算即可;
(4)分兩種情況:
①當(dāng)∠BRQ=90°時,如圖6,根據(jù)BQ=2RQ列式可得:t=$\frac{4}{3}$;
②當(dāng)∠BQR=90°時,如圖7,根據(jù)BR=2RQ列式可得:t=$\frac{8}{3}$.

解答 解:(1)由題意得:AP=t,
當(dāng)點Q在線段AD上時,如圖1,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠A=∠B=60°,
∵PQ∥BC,
∴∠PQA=∠B=60°,
∴△PAQ是等邊三角形,
∴PA=AQ=PQ,
∵△PQR是等邊三角形,
∴PQ=PR=RQ,
∴AP=PR=RQ=AQ,
∴四邊形APRQ是菱形,
∴QR=AP=t;

(2)當(dāng)點Q在線段AD上運動時,如圖2,點R的運動的路程長為AR,
由(1)得:四邊形APRQ是菱形,
∴AR⊥PQ,
∵PQ∥BC,
∴AR⊥BC,
∴RC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4=2,
由勾股定理得:AR=$\sqrt{A{C}^{2}-C{R}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$;
當(dāng)點Q在線段CD上運動時,如圖2,點R的運動的路程長為CR,
∴AR+CR=2$\sqrt{3}$+2,
答:點R運動的路程長為(2$\sqrt{3}$+2)cm;

(3)當(dāng)R在CD上時,如圖3,
∵PR∥AD,
∴△CPR∽△CAD,
∴$\frac{CP}{AC}=\frac{PR}{AD}$,
∴$\frac{4-t}{4}=\frac{t}{2}$,
4t=8-2t,
t=$\frac{4}{3}$,
①當(dāng)0<t≤$\frac{4}{3}$時,四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形的面積是菱形APRQ的面積,如圖4,
過P作PE⊥AB于E,
∴PE=AP•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t,
∴S=AQ•PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t2,
②當(dāng)$\frac{4}{3}$<t≤2時,四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形的面積是五邊形APFMQ的面積,如圖5,
在Rt△PCF中,sin∠PCF=$\frac{PF}{PC}$,
∴PF=PC•sin30°=$\frac{1}{2}$(4-t)=2-$\frac{1}{2}$t,
∴FR=t-(2-$\frac{1}{2}$t)=$\frac{3}{2}$t-2,
∴tan60°=$\frac{FM}{FR}$,
∴FM=$\sqrt{3}$×($\frac{3}{2}$t-2),
∴S=S菱形APRQ-S△FMR=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t2-$\frac{1}{2}$FR•FM=$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}$($\frac{3}{2}$t-2)×$\sqrt{3}$×($\frac{3}{2}$t-2),
∴S=-$\frac{5\sqrt{3}}{8}{t}^{2}$+3$\sqrt{3}t$-2$\sqrt{3}$;
綜上所述,當(dāng)點Q在線段AD上時,S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為:
S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}(0<t≤\frac{4}{3})}\\{-\frac{5\sqrt{3}}{8}{t}^{2}+3\sqrt{3}t-2\sqrt{3}(\frac{4}{3}<t≤2)}\end{array}\right.$;
(4)①當(dāng)∠BRQ=90°時,如圖6,
∵四邊形APRQ是菱形,
∴AP=AQ=RQ=t,
∴BQ=4-t,
∵∠AQP=∠PQR=60°,
∴∠RQB=180°-60°60°=60°,
∴∠RBQ=30°,
∴BQ=2RQ,
4-t=2t,
3t=4,
t=$\frac{4}{3}$;
②當(dāng)∠BQR=90°時,如圖7,
同理得四邊形CPQR是菱形,
∴PC=RQ=RC=4-t,
∴BR=t,
∵∠CRP=∠PRQ=60°,
∴∠QRB=60°,
∴∠QBR=30°,
∴BR=2RQ,
∴t=2(4-t),
t=$\frac{8}{3}$,
綜上所述,以點B、Q、R為頂點的三角形是直角三角形時t的值是$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$.

點評 本題是四邊形和三角形的綜合題,考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)和判定、動點運動問題、二次函數(shù)等知識,熟練掌握菱形和等邊三角形的性質(zhì)與判定是關(guān)鍵,利用數(shù)形結(jié)合的思想解決重疊部分圖形的面積問題.

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