Question

8．如圖1，已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作ME∥AC交BD于點(diǎn)E，作MF∥BD交AC于點(diǎn)F．
（1）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，求證：四邊形OEMF是矩形；
（2）如圖3，若四邊形ABCD是矩形，則四邊形OEMF是菱形（在橫線上填一個(gè)特殊平行四邊形的名稱）
（3）如圖4，若四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F落在AC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E落在線段OD上，其余條件不變，寫出OB，ME，MF三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行證明四邊形OEMF是平行四邊形，再由菱形的對(duì)角線互相垂直得∠BOC=90°，得四邊形OEMF是矩形；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的中位線定理證明OE=EM，則?OEMF是菱形；
（3）ME=OB+MF，分別證明FC=FM和OF=EM，根據(jù)線段的和可以得出結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖2，∵M(jìn)E∥AC，MF∥BD，
∴四邊形OEMF是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴?OEMF是矩形；
（2）如圖3，若四邊形ABCD是矩形，則四邊形OEMF是菱形，理由是：
由（1）得：四邊形OEMF是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，AC=BD，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵EM∥OC，
∴∠EMB=∠OCB，
∴∠EMB=∠OBC，
∴BE=EM，
∵BM=MC，EM∥OC，
∴BE=OE，
∴OE=EM，
∴?OEMF是菱形；
故答案為：菱形；
（3）如圖4，ME=OB+MF，理由是：
由（2）得：OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵M(jìn)F∥BE，
∴∠OBC=∠BMF，
∴∠OCB=∠BMF，
∵∠OCB=∠FCM，
∴∠FCM=∠BMF，
∴FC═FM，
由（1）得四邊形OEMF是平行四邊形，
∴OF=EM，
∵OF=OC+FC=OB+FM，
∴ME=OB+MF．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，難度適中，考查了平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中位線定理及平行線的性質(zhì)，明確各類特殊四邊形對(duì)角線的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．