Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點A在y軸正半軸上，頂點B在x軸正半軸上，OA、OB的長分別是一元二次方程x²﹣7x+12=0的兩個根（OA＞OB）．

（1）求點D的坐標(biāo)．

（2）求直線BC的解析式．

（3）在直線BC上是否存在點P，使△PCD為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）x²﹣7x+12=0，

解得x₁=3，x₂=4，

∵OA＞OB，

∴OA=4，OB=3，

過D作DE⊥y于點E，

∵正方形ABCD，

∴AD=AB，∠DAB=90°，

∠DAE+∠OAB=90°，

∠ABO+∠OAB=90°，

∴∠ABO=∠DAE，

∵DE⊥AE，

∴∠AED=90°=∠AOB，

在△DAE和△ABO中，，

∴△DAE≌△ABO（AAS），

∴DE=OA=4，AE=OB=3，

∴OE=7，

∴D（4，7）；

（2）過點C作CM⊥x軸于點M，

同上可證得△BCM≌△ABO，

∴CM=OB=3，BM=OA=4，

∴OM=7，

∴C（7，3），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），

代入B（3，0），C（7，3）得，，

解得，

∴y=x﹣；

（3）存在．

點P與點B重合時，P₁（3，0），

點P與點B關(guān)于點C對稱時，P₂（11，6）．