Question

如圖，已知拋物線與x軸相交于A、B兩點，其對稱軸為直線x=2，且與x軸交于點D，AO=1．
（1）填空：b=______，c=______，點B的坐標(biāo)為（______，______）：
（2）若線段BC的垂直平分線EF交BC于點E，交x軸于點F．求FC的長；
（3）探究：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使⊙P與x軸、直線BC都相切？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)對稱軸和OA=1求出A、B的坐標(biāo)，代入解析式求出b、c即可；
（2）求出C（2，4）求得E的坐標(biāo)為（3.5，2）和直線BC的表達(dá)式為，設(shè)直線EF的表達(dá)式為y=kx+b，根據(jù)EF為BC的中垂線求出和推出直線EF的表達(dá)式為，令y=0，得即可求出答案；
（3）作∠OBC的平分線交DC于點P，設(shè)P（2，a），根據(jù)拋物線解析式求出頂點C的坐標(biāo)與點B的坐標(biāo)，然后利用∠BCD的正弦列式即可求解．
解答：解：（1）∵拋物線與x軸相交于A、B兩點，其對稱軸為直線x=2，且與x軸交于點D，AO=1，
∴A（-1，0），B（5，0），
代入解析式得：，
解得：b=，c=，
故答案為：，，5，0．

（2）由（1）求得，
∴C（2，4）
∵E為BC的中點，由中點坐標(biāo)公式求得E的坐標(biāo)為（3.5，2），
直線BC的表達(dá)式為y=-x+，
整理得4x+3y-20=0
設(shè)直線EF的表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），
∵EF為BC的中垂線，
∴EF⊥BC，
∵互相垂直的兩條直線的斜率的積是-1，
∴，
把E（3.5，2）代入求得，
∴直線EF的表達(dá)式為，
在中，令y=0，得，
∴F（，0），
∴FC=FB=，
答：FC的長是．
（3）存在．
作∠OBC的平分線交DC于點P，則P滿足條件，
設(shè)P（2，a），則P到x軸的距離為等于P到直線BC的距離，都是|a|，
∵拋物線解析式是y=-（x-2）²+4，
∴點C的坐標(biāo)是（2，4），
又∵點B的坐標(biāo)是（5，0），
∴CD=4，DB=5-2=3，
∴BC===5，
∵⊙P與x軸、直線BC都相切，
∴∠CEP=∠CDB=90°，
∴∠PCE+∠CPE=90°，∠CBA+∠CPE=90°，
∴∠CPE=∠CBA，
∴sin∠BCD==，
解得：a=，
當(dāng)P在x軸的下方時，同法得出=，
解得：a=-6，
∴點P的坐標(biāo)是P（2，-6）或P（2，）．
答：在拋物線的對稱軸上存在點P，使⊙P與x軸、直線BC都相切，點P的坐標(biāo)是（2，-6），（2，）．
點評：本題主要考查對解二元一次方程組，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，勾股定理，線段的垂直平分線定理等知識點的理解和掌握，熟練地運用這些性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．