Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式．

（2）點(diǎn)為線段上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．若，的面積為．

①求與的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量的取值范圍．

②當(dāng)取得最值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）在上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，；②P（，3）；

（3）或

【解析】

（1）將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入即可；

（2）①求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，直線MB的解析式等，由PD⊥x軸且OD=m知P（m，-2m+6），即可用含m的代數(shù)式表示出S；

②在和①的情況下，將S和m的關(guān)系式化為頂點(diǎn)式，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）分情況討論，當(dāng)∠CPD=90°時(shí)，推出PD=CO=3，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)∠PCD=90°時(shí)，證∠PDC=∠OCD，由銳角三角函數(shù)可求出m的值，即可寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)∠PDC=90°時(shí)，不存在點(diǎn)P．

解：（1）將，代入，

得，

解得，

∴二次函數(shù)的解析式為；

（2）①∵

∴頂點(diǎn)M（1，4），

將直線BM的解析式設(shè)為，

將點(diǎn)，M（1，4）代入，

可得，

解得，

∴直線BM的解析式為，

如圖∵PD⊥x軸且OD=m，

∴P（m，-2m+6），

∴，

即，

∵點(diǎn)為線段上一個(gè)動點(diǎn)且，M（1，4），

∴；

②，

∴當(dāng)時(shí)，S取最大值，

∴P（，3）；

（3）存在，理由如下：

如圖，當(dāng)∠CPD=90°時(shí)，

,

∴四邊形CODP為矩形，

∵PD=CO=3,

將代入直線，

得，

∴P；

如圖，當(dāng)∠PCD=90°時(shí)，

∵OC=3，OD=m，

，

,

,

,

,

，

解得（舍去），，

∴；

當(dāng)∠PDC=90°時(shí)，

∵PD⊥x軸，

∴不存在點(diǎn)P；

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．