Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以O(shè)為圓心的半圓分別與AB、AC邊相切于D、E兩點(diǎn)，且O點(diǎn)在BC邊上，則圖中陰影部分面積S_陰=

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   5-π
4. D.
   -

Answer 1

D
分析：首先連接OD，OE，設(shè)⊙O與BC交于M、N兩點(diǎn)，易得四邊形ADOE是正方形，即可得∠DOM+∠EON=90°，然后設(shè)OE=x，由△COE∽△CBA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得x的值，繼而由S_陰影=S_△ABC-S_{正方形ADOE}-（S_扇形DOM+S_扇形EON）求得答案．
解答：解：連接OD，OE，設(shè)⊙O與BC交于M、N兩點(diǎn)，
∵以O(shè)為圓心的半圓分別與AB、AC邊相切于D、E兩點(diǎn)，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
即∠ADO=∠AEO=90°，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，
∴四邊形ADOE是矩形，
∵OD=OE，
∴四邊形ADOE是正方形，
∴∠DOE=90°，
∴∠DOM+∠EON=90°，
設(shè)OE=x，則AE=AD=OD=x，EC=AC-AE=4-x，
∵△COE∽△CBA，
∴，
即，
解得：x=，
∴S_陰影=S_△ABC-S_{正方形ADOE}-（S_扇形DOM+S_扇形EON）
=×3×4-（）²-
=-．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．