Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．

（1）t為何值時(shí)，△CPQ的面積等于△ABC面積的？

（2）運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△CPQ與△CBA相似？

（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQ的長(zhǎng)度能否為1cm？試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）經(jīng)過(guò)或秒后，△CPQ的面積等于△ABC面積的；（2）所需要的時(shí)間為1.2或秒；（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQ的長(zhǎng)度不能為1cm．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角形的面積列方程即可求出結(jié)果；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進(jìn)行求解，

①若②若然后列方程求解；
（3）根據(jù)勾股定理列方程，此方程無(wú)解，于是得到在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， 的長(zhǎng)度能否為1cm．

試題解析：(1)經(jīng)過(guò)t秒后，PC=42t，CQ=t，

當(dāng)△CPQ的面積等于△ABC面積的時(shí)，

即

解得： 或；

∴經(jīng)過(guò)或秒后,△CPQ的面積等于△ABC面積的；

(2)設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進(jìn)行求解，

①若Rt△ABC∽Rt△QPC，則，即，解之得t=1.2；

②若Rt△ABC∽Rt△PQC，則， ，解之得t=；

由P點(diǎn)在BC邊上的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s,Q點(diǎn)在AC邊上的速度為1cm/s,可求出t的取值范圍應(yīng)該為0驗(yàn)證可知①②兩種情況下所求的t均滿足條件，所以可知要使△CPQ與△CBA相似,所需要的時(shí)間為1.2或秒；

(3)

∵此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，

∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQ的長(zhǎng)度不能為1cm.