Question

【題目】如圖，點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn)，直線PQ與MN相交于點(diǎn)O，利用此圖:

(1)作一個平行四邊形AMBN，使A、B兩點(diǎn)都在直線PQ上(只保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)根據(jù)上述經(jīng)驗(yàn)探究:在□ ABCD中，AE上CD交CD于E點(diǎn)，F為BC的中點(diǎn)，連接EF、AF，試猜想EF與AF的數(shù)里關(guān)系，并給予證明.

(3)若∠D=60°,AD=4,CD=3，求EF的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) EF＝AF,理由見解析；(3)

【解析】

（1）利用平行四邊形的判定即可作出圖形；
（2）先判斷出△ABF≌△GCF，得出AF=GF，進(jìn)而判斷出四邊形ABGC為平行四邊形，最后用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可；
（3）先根據(jù)勾股定理求出AE，再由平行四邊形的性質(zhì)得出GE，最后勾股定理求出AG，最后用直角三角形的性質(zhì)即可．

(1)如圖1所示，四邊形AMBN是所求作的平行四邊形，

（2）結(jié)論：EF＝AF，

理由：如圖2，延長AF交DC的延長線于點(diǎn)G，連接BG，AC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠BAF＝∠CGF，

∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，

∴BF＝CF，

在△ABF和△GCF中，，

∴△ABF≌△GCF，

∴AF＝GF，

∵BF＝CF，

∴四邊形ABGC為平行四邊形，

∴AF＝GF，

∵AE⊥DC，

在Rt△AEG中，EF是斜邊AG上的中線，

∴EF＝AF＝AG；

（3）在Rt△AED中，∠D＝60°，AD＝4，

∴DE＝AD＝2，由勾股定理得，AE＝，

由（2）知，在平行四邊形ABGC中，CG＝AB＝CD＝3，

∴GE＝CG+CE＝4，

在Rt△AEG中，AG＝，

∴EF＝．