【題目】如圖1,拋物線C1:y=ax2﹣2ax+c(a<0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OC=3OA,拋物線C1的頂點(diǎn)為G.
(1)求出拋物線C1的解析式,并寫出點(diǎn)G的坐標(biāo);
(2)如圖2,將拋物線C1向下平移k(k>0)個(gè)單位,得到拋物線C2,設(shè)C2與x軸的交點(diǎn)為A′、B′,頂點(diǎn)為G′,當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時(shí),求k的值:
(3)在(2)的條件下,如圖3,設(shè)點(diǎn)M為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點(diǎn),試探究在直線y=﹣1上是否存在點(diǎn)N,使得以P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOQ全等,若存在,直接寫出點(diǎn)M,N的坐標(biāo):若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,4);(2)k=1;(3)M1(,0)、N1(,﹣1);M2(,0)、N2(1,﹣1);M3(4,0)、N3(10,﹣1);M4(4,0)、N4(﹣2,﹣1).
【解析】
(1)由點(diǎn)A的坐標(biāo)及OC=3OA得點(diǎn)C坐標(biāo),將A、C坐標(biāo)代入解析式求解可得;
(2)設(shè)拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣(x﹣1)2+4﹣k,′作G′D⊥x軸于點(diǎn)D,設(shè)BD′=m,由等邊三角形性質(zhì)知點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(m+1,0),點(diǎn)G′的坐標(biāo)為(1,m),代入所設(shè)解析式求解可得;
(3)設(shè)M(x,0),則P(x,﹣x2+2x+3)、Q(x,﹣x2+2x+2),根據(jù)PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均為鈍角知△AOQ≌△PQN,延長PQ交直線y=﹣1于點(diǎn)H,證△OQM≌△QNH,根據(jù)對應(yīng)邊相等建立關(guān)于x的方程,解之求得x的值從而進(jìn)一步求解即可.
(1)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),
∴OA=1,
∴OC=3OA,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),
將A、C坐標(biāo)代入y=ax2﹣2ax+c,得:,
解得:,
∴拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,4);
(2)設(shè)拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣(x﹣1)2+4﹣k,
過點(diǎn)G′作G′D⊥x軸于點(diǎn)D,設(shè)BD′=m,
∵△A′B′G′為等邊三角形,
∴G′D=B′D=m,
則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(m+1,0),點(diǎn)G′的坐標(biāo)為(1,m),
將點(diǎn)B′、G′的坐標(biāo)代入y=﹣(x﹣1)2+4﹣k,得:
,
解得:(舍),,
∴k=1;
(3)設(shè)M(x,0),則P(x,﹣x2+2x+3)、Q(x,﹣x2+2x+2),
∴PQ=OA=1,
∵∠AOQ、∠PQN均為鈍角,
∴△AOQ≌△PQN,
如圖2,延長PQ交直線y=﹣1于點(diǎn)H,
則∠QHN=∠OMQ=90°,
又∵△AOQ≌△PQN,
∴OQ=QN,∠AOQ=∠PQN,
∴∠MOQ=∠HQN,
∴△OQM≌△QNH(AAS),
∴OM=QH,即x=﹣x2+2x+2+1,
解得:x=(負(fù)值舍去),
當(dāng)x=時(shí),HN=QM=﹣x2+2x+2=,點(diǎn)M(,0),
∴點(diǎn)N坐標(biāo)為(+,﹣1),即(,﹣1);
或(﹣,﹣1),即(1,﹣1);
如圖3,
同理可得△OQM≌△PNH,
∴OM=PH,即x=﹣(﹣x2+2x+2)﹣1,
解得:x=﹣1(舍)或x=4,
當(dāng)x=4時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,0),HN=QM=﹣(﹣x2+2x+2)=6,
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4+6,﹣1)即(10,﹣1),或(4﹣6,﹣1)即(﹣2,﹣1);
綜上點(diǎn)M1(,0)、N1(,﹣1);M2(,0)、N2(1,﹣1);M3(4,0)、N3(10,﹣1);M4(4,0)、N4(﹣2,﹣1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校組織一項(xiàng)公益知識(shí)競賽,比賽規(guī)定:每個(gè)班級(jí)由2名男生、2名女生及1名班主任老師組成代表隊(duì).但參賽時(shí),每班只能有3名隊(duì)員上場參賽,班主任老師必須參加,另外2名隊(duì)員分別在2名男生和2名女生中各隨機(jī)抽出1名.初三(1)班由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生及1名班主任組成了代表隊(duì),求恰好抽到由男生甲、女生丙和這位班主任一起上場參賽的概率.(請用“畫樹狀圖”或“列表”或“列舉”等方法給出分析過程)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,從邊長為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的小正方形,將陰影部分剪下,拼成右邊的矩形,由圖形①到圖形②的變化過程能夠驗(yàn)證的一個(gè)等式是( 。
A. a(a+b)=a2+ab B. a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
C. (a+b)2=a2+2ab+b2 D. a(a﹣b)=a2﹣ab
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD與四邊形CEFG是兩個(gè)邊長分別為a,b的正方形.
(1)用含a,b的代數(shù)式表示三角形BGF的面積;(2)當(dāng),時(shí),求陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn),直線PQ與MN相交于點(diǎn)O,利用此圖:
(1)作一個(gè)平行四邊形AMBN,使A、B兩點(diǎn)都在直線PQ上(只保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)根據(jù)上述經(jīng)驗(yàn)探究:在□ ABCD中,AE上CD交CD于E點(diǎn),F為BC的中點(diǎn),連接EF、AF,試猜想EF與AF的數(shù)里關(guān)系,并給予證明.
(3)若∠D=60°,AD=4,CD=3,求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,在四邊形ABCD中,點(diǎn)O,E,F(xiàn),G分別是AB,BC,CD,AD的中點(diǎn),連接OE,EF,F(xiàn)G,GO,GE.
(1)證明:四邊形OEFG是平行四邊形;
(2)將△OGE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△OMN,如圖2所示,連接GM,EN.
①若OE=,OG=1,求的值;
②試在四邊形ABCD中添加一個(gè)條件,使GM,EN的長在旋轉(zhuǎn)過程中始終相等.(不要求證明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中,△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.
(1)B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為 ;
(2)將△AOB向左平移3個(gè)單位長度得到△A1O1B1,請畫出△A1O1B1;
(3)在(2)的條件下,A1的坐標(biāo)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(甲),在正方形中,是上一點(diǎn),是延長線上一點(diǎn),且.
(1)求證:;
(2)在如圖(甲)中,若在上,且,則成立嗎?
證明你的結(jié)論.(3)運(yùn)用(1)(2)解答中積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),完成下題:
如圖(乙)四邊形中,∥(>),,,點(diǎn)是上一點(diǎn),且,,求的長.
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