Question

【題目】已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，tanA=，CD⊥AB于點D，DE⊥AC，點F在線段BC上，EF交CD于點M．

（1）求CD的長；

（2）若△EFC與△ABC相似，試求線段EM的長．

Answer 1

【答案】（1）2.4（2）或

【解析】

試題分析：（1）由已知條件易求BC、AB的長，再根據△ACB的面積為定值即可求出CD的長，

（2）若△EFC與△ABC相似，則CE可以和BC為對應邊，也可以和AC為對應邊，所以此題要分兩種情況討論求出CF的長，再由△DEM∽△CFM即可求出不同情況下EM的長．

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，tanA=，

∴BC=4，

∴AB==5，

∵CD⊥AB于點D，

∴AC×BC=AB×CD，

∴CD=2.4；

（2）∵CD⊥AB于點D，tanA=，AC=3，

∴AD=，

∵DE⊥AC，tanA=，

∴AE=，DE=，

∴CE=3﹣=，

若△EFC與△ABC相似，

則或，

解得：CF=或，EF=或，

∵DE⊥AC，BC⊥AC，

∴△DEM∽△CFM，

∴，

∴EM=或．