【題目】已知:△ABC內(nèi)接于⊙O,CD⊥AB于點(diǎn)D.
(1)如圖1,連接OB和OC,AB=AC,求證:∠BOC=4∠BCD;
(2)如圖2,延長CD交⊙O于點(diǎn)E,連接AE,過點(diǎn)O作OF⊥AE,垂足為F,求證:BC=2OF;
(3)如圖3,在(1)的條件下,G是AB上一點(diǎn),連接CG,H為CG的中點(diǎn),連接BH,若∠BAC=∠HBA,AG=8,BH=9,求⊙O的半徑.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3) .
【解析】
(1)如圖1中,連接AO,延長AO交BC于H.首先證明∠BCD=∠BAH,再證明∠BOC=4∠BAH即可解決問題.
(2)如圖2中,連接AO,延長AO交⊙O于H,連接EH,BH.利用三角形中位線定理證明EH=2OF,再證明BC=EH即可.
(3)如圖3中,連接AO,延長AO交BC于K,延長BH交⊙O于T,連接CT,AT,作TQ⊥AB于Q.首先證明CT⊥AB,證明△BHG≌△THC(AAS),推出BH=TH=9,再求出BC,AK即可解決問題.
解:(1)證明:如圖1中,連接AO,延長AO交BC于H.
∵AB=AC,
∴,∠ABC=∠ACB,
∴AH⊥BC,
∴∠BAH=∠CAH,
∵CD⊥AB,
∴∠AHB=∠CDB=90°,
∴∠CBD+∠ABC=90°,∠ABC+∠BAH=90°,
∴∠BCD=∠BAH,
∵OA=OB=OC,
∴∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA,
∵∠BOH=∠OAB+∠OBA,∠COH=∠OAC+∠OCA,
∴∠BOC=4∠OAB=4∠BCD.
(2)證明:如圖2中,連接AO,延長AO交⊙O于H,連接EH,BH.
∵OF⊥AE,
∴AF=FE,
∵AO=OH,
∴EH=2OF,
∵AH是直徑,
∴∠ABH=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠ABH=90°,
∴EC∥BH,
∴∠ECB=∠CBH,
∴,
∴,
∴EH=BC,
∴BC=2OF.
(3)如圖3中,連接AO,延長AO交BC于K,延長BH交⊙O于T,連接CT,AT,作TQ⊥AB于Q.
∵∠BTC=∠BAC,∠BAC=∠ABH,
∴∠ABH=∠BTC,
∴AB∥CT,,
∴,BC=AT,
∴BT=AC=AB,
∵∠BHG=∠THC,∠GBH=∠CTH,GH=HC,
∴△BHG≌△THC(AAS),
∴BH=TH=9,BG=CT,
∴AB=BT=AC=18,
∵AG=8,
∴BG=CT=10,
∵TQ⊥AB,CD⊥AB,BC=AT,易證AQ=BD=4,AD=BQ=14,
∴BC2=BD2+CD2=BD2+AC2﹣AD2=144,
∴BC=12,
在Rt△ABK中,AK===12,
設(shè)OA=OB=r,
在Rt△BOK中,則有r2=62+(12﹣r)2,
∴r=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠MAN=90°,點(diǎn)C在邊AM上,AC=2,點(diǎn)B為邊AN上一動(dòng)點(diǎn),連接BC,△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在的直線對(duì)稱,點(diǎn)D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長交A′C所在直線于點(diǎn)F,連接A′E,當(dāng)△A′EF為直角三角形時(shí),AB的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:直線與y軸交于A,與x軸交于D,拋物線y=x2+bx+c與直線交于A、E兩點(diǎn),與x軸交于B、C兩點(diǎn),且B點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是直線AE上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PBC周長最小時(shí),求點(diǎn)P坐標(biāo);
(3)動(dòng)點(diǎn)Q在x軸上移動(dòng),當(dāng)△QAE是直角三角形時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(4)在y軸上是否存在一點(diǎn)M,使得點(diǎn)M到C點(diǎn)的距離與到直線AD的距離恰好相等?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,PA、PB是⊙O的切線,A、B為切點(diǎn),∠APB=60°,連接PO并延長與⊙O交于C點(diǎn),連接AC,BC.
(1)求證:四邊形ACBP是菱形;
(2)若⊙O半徑為1,求菱形ACBP的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方形ABCD中,AB=3cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒3cm的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒,△PBQ的面積為ycm2,則能正確表示△PBQ的面積y與時(shí)間x的關(guān)系的圖象是( 。
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(問題呈現(xiàn))如圖1,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,連接格點(diǎn)D,N和E,C,DN和EC相交于點(diǎn)P,求tan∠CPN的值.
(方法歸納)求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值,我們往往需要找出(或構(gòu)造出)一個(gè)直角三角形.觀察發(fā)現(xiàn)問題中∠CPN不在直角三角形中,我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題,比如連接格點(diǎn)M,N,可得MN∥EC,則∠DNM=∠CPN,連接DM,那么∠CPN就變換到Rt△DMN中.
(問題解決)(1)直接寫出圖1中tan∠CPN的值為 ;
(2)如圖2,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,AN與CM相交于點(diǎn)P,求cos∠CPN的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖1是一輛吊車的實(shí)物圖,圖2是其工作示意圖,AC是可以伸縮的起重臂,其轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A離地面BD的高度AH為3.4m.當(dāng)起重臂AC長度為9m,張角∠HAC為118°時(shí),求操作平臺(tái)C離地面的高度(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位:參考數(shù)據(jù):sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩張矩形紙片ABCD和CEFG完全相同,且AB=CE,AD>AB.
操作發(fā)現(xiàn):
(1)如圖1,點(diǎn)D在GC上,連接AC、CF、CG、AG,則AC和CF有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?并說明理由.
實(shí)踐探究:
(2)如圖2,將圖1中的紙片CEFG以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)D落在GE上時(shí)停止旋轉(zhuǎn),則AG和GF在同一條直線上嗎?請(qǐng)判斷,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的斜邊AB在y軸上,邊AC與x軸交于點(diǎn)D,AE平分∠BAC交邊BC與點(diǎn)E,經(jīng)過A、D、E三點(diǎn)的即的圓心F恰好在y軸上,⊙F與y軸交于另一點(diǎn)G.
(1)求證:BC是⊙F的切線;
(2)試探究線段AG、AD、CD之間的關(guān)系,并證明;
(3)若點(diǎn)A(O,﹣1)、D(2,0),求AB的長.
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