Question

【題目】如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∠APB=60°，連接PO并延長與⊙O交于C點，連接AC，BC．

（1）求證：四邊形ACBP是菱形；

（2）若⊙O半徑為1，求菱形ACBP的面積．

Answer 1

【答案】（1）.證明見解析；（2）菱形ACBP的面積=．

【解析】

試題分析：（1）連接AO，BO，根據(jù)PA、PB是⊙O的切線，得到∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，由三角形的內(nèi)角和得到∠AOP=60°，根據(jù)三角形外角的性質得到∠ACO=30°，得到AC=AP，同理BC=PB，于是得到結論；（2）連接AB交PC于D，根據(jù)菱形的性質得到AD⊥PC，解直角三角形即可得到結論．

試題解析：

（1）連接AO，BO，

∵PA、PB是⊙O的切線，∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，

∴∠AOP=60°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，∴∠ACO=30°，

∴∠ACO=∠APO，∴AC=AP，

同理BC=PB，∴AC=BC=BP=AP，∴四邊形ACBP是菱形；

（2）連接AB交PC于D，

∴AD⊥PC，∴OA=1，∠AOP=60°，∴AD=OA=，

∴PD=，∴PC=3，AB=，

∴菱形ACBP的面積=ABPC=．