Question

【題目】如圖，拋物線y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3（a＞0）和y2=a（x+1）2﹣1（a＞0）的頂點分別為M、N，與y軸分別交于E、F．

（1）①函數(shù)y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3（a＞0）的最大值是；
②當y1、y2的值都隨x的增大而增大時，自變量x的取值范圍是；
（2）當EF=MN時，求a值，并判斷四邊形EMFN是何種特殊的四邊形；
（3）若y2=a（x+1）2﹣1（a＞0）的圖象與x軸的右交點為A（m，0），當△AMN為等腰三角形時，求方程a（x+1）2﹣1=0的解．

Answer 1

【答案】
（1）-3；﹣1≤x≤1
（2）

解：∵y1=﹣a（x﹣1）2﹣3，y2=a（x+1）2﹣1，

∴N（﹣1，﹣1），M（1，﹣3）．

由兩點間的距離公式可知：MN=2 ．

令x=0得：y1=﹣a﹣3，y2=a﹣1．

∴F（0，a﹣1），E（0，﹣a﹣3）．

∴EF=2a+2．

∵EF=MN，

∴2a+2=2 ，解得：a= ﹣1．

作NC⊥y軸于C，MD⊥y軸于D

∴NC=1，F(xiàn)C=a，MD=1，DE=a

∵在Rt△CNF和Rt△MDE中， ，

∴△NCF≌MDE．

∴NF=EM，∠NFC=∠DEM

∴NF‖EM

∴四邊形EMFN是平行四邊形

又∵NM=EF

∴四邊形EMFN是矩形

（3）

解：∵A（m，0）M（1，﹣3）N（﹣1，﹣1），

∴AN2=m2+2m+2，AM2=m2﹣2m+10，MN2=8．

①若AN=AM，則m2+2m+2=m2﹣2m+10，解得：m=2，

∴方程a（x+1）2﹣1=0的一個解為x=2，

根據(jù)拋物線對稱性，可知方程的另一個解為x=﹣4．

②若AN=MN，則m2+2m+2=8，解得：m=﹣1+ 或m=﹣1﹣ （舍去），

所以方程a（x+1）2﹣1=0的一個解為x=﹣1+ ，

根據(jù)拋物線對稱性，可知方程的另一個解為x=﹣1﹣ ．

③若AM=MN，所以m2﹣2m+10=8，

此方程無解，所以此種情況不成立

綜上所述當△AMN為等腰三角形時，方程a（x+1）2﹣1=0的解為x1=2，x2=﹣4或x1=﹣1 或x2=﹣1﹣

【解析】解：（1）①y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3=﹣a（x2﹣2x+1）﹣3=﹣a（x﹣1）2﹣3，
∴函數(shù)y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3（a＞0）的最大值是﹣3．
所以答案是：﹣3．
②∵y1=﹣a（x﹣1）2﹣3，﹣a＜0，
∴當x≤1時，y隨x的增大而增大．
∵y2=a（x+1）2﹣1（a＞0），
∴當x≥﹣1時，y隨x的增大而增大．
∴當﹣1≤x≤1時，y1、y2的值都隨x的增大而增大．
【考點精析】利用二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的最值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)；如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．