【答案】
分析:(1)先根據(jù)已知條件得出A點(diǎn)及C點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出此拋物線的解析式;
(2)y=0代入(1)中所求二次函數(shù)的解析式即可的出此函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),由OD平分∠BOC可知OE所在的直線為y=x,再解此直線與拋物線組成的方程組即可求出E點(diǎn)坐標(biāo);
(3)①過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)P,連接BE、PO,把y=2代入二次函數(shù)解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可得出四邊形OBEP是平行四邊形;
②設(shè)Q是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn),連接QA、QB、QE、BE,由QA=QB可知△BEQ的周長(zhǎng)等于BE+QA+QE,由A、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得出直線AE的解析式,再根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是x=
可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得出結(jié)論.
解答:解:(1)∵OA=2,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0).
∵OC=3,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).
∵把(-2,0),(0,3)代入y=-
x
2+bx+c,得
解得
∴拋物線解析式為y=-
x
2+
x+3;
(2)把y=0代入y=-
x
2+
x+3,
解得x
1=-2,x
2=3
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),
∴OB=OC=3
∵OD⊥BC,
∴OD平分∠BOC
∴OE所在的直線為y=x
解方程組
得
,
,
∵點(diǎn)E在第一象限內(nèi),
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,2).
(3)①存在,如圖1,過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)P,連接BE、PO,
把y=2代入y=-
x
2+
x+3,
解得x
1=-1,x
2=2
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,2),
∵PE∥OB,且PE=OB=3,
∴四邊形OBEP是平行四邊形,
∴在x軸上方的拋物線上,存在一點(diǎn)P(-1,2),使得四邊形OBEP是平行四邊形;
②存在,如圖2,設(shè)Q是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn),連接QA、QB、QE、BE,
∵QA=QB,
∴△BEQ的周長(zhǎng)等于BE+QA+QE,
又∵BE的長(zhǎng)是定值
∴A、Q、E在同一直線上時(shí),△BEQ的周長(zhǎng)最小,
由A(-2,0)、E(2,2)可得直線AE的解析式為y=
x+1,
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是x=
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(
,
)
∴在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上,存在點(diǎn)Q(
,
),使得△BEQ的周長(zhǎng)最。
點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式,平行四邊形的判定定理,難度較大.