Question

【題目】如圖1，線段BE上有一點(diǎn)C，以BC，CE為邊分別在BE的同側(cè)作等邊三角形ABC，DCE，連接AE，BD，分別交CD，CA于Q，P．

（1）找出圖中的所有全等三角形．
（2）找出一組相等的線段，并說明理由．
（3）如圖2，取AE的中點(diǎn)M、BD的中點(diǎn)N，連接MN，試判斷三角形CMN的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：△BCD≌△ACE；△BPC≌△AQC；△DPC≌△EQC

（2）解：BD=AE．

理由：等邊三角形ABC、DCE中，∵∠ACB=∠ACD=∠DCE=60°，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中， ，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴BD=AE．

（3）解：等邊三角形．

理由：由△BCD≌△ACE，

∴∠1=∠2，BD=AE．

∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)、N是BD的中點(diǎn)，

∴DN=EM，又DC=CE．

在△DCN和△ECM中， ，

∴△DCN≌△ECM（SAS），

∴CN=CM，∠NCD=∠MCE，∠MCE+∠DCM=60°．

∴∠NCD+∠DCM=60°，即∠NCM=60°，

又∵CM=CN，

∴△CMN為等邊三角形

【解析】（1）先觀察圖形那些三角形是全等的，然后結(jié)合題中條件去推理；（2）由等邊三角形的性質(zhì)推出邊相等、角相等，由“SAS”推出全等（3）由第(1）問去等推出△DCN≌△ECM，再證∠NCM=60°即得證.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等邊三角形的性質(zhì)，需要了解等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°才能得出正確答案．