Question

如圖，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（-2，-1），且P（-1，-2）為雙曲線上的一點．
（1）求出正比例函數和反比例函數的關系式；
（2）觀察圖象，寫出正比例函數值大于反比例函數值時自變量x的取值范圍；
（3）若點Q在第一象限中的雙曲線上運動，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（-2，-1），設出正比例函數和反比例函數的解析式，運用待定系數法可求它們解析式；
（2）根據正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（-2，-1），且P（-1，-2）為雙曲線上的一點，得出交點兩側兩函數大小正好不同，結合圖象得出即可．
（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP=CQOQ=PC，而點P（-1，-2）是定點，所以OP的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值．
解答：解：（1）設正比例函數解析式為y=kx（k≠0），
將點M（-2，-1）坐標代入得k=，所以正比例函數解析式為y=x，
設反比例函數解析式為y=（k₁≠0），
將點M（-2，-1）坐標代入得k₁=2
所以反比例函數解析式為；

（2）根據正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（-2，-1），且P（-1，-2）為雙曲線上的一點，結合圖象得出：
當-2＜x＜0或x＞2時，正比例函數值大于反比例函數值．

（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP=CQ，OQ=PC，
而點P（-1，-2）是定點，所以OP的長也是定長，
所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值，
因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設點Q的坐標為Q（n，），
由勾股定理可得OQ²=n²+=n²+-4+4=（n-）²+4，
所以當（n-）²=0即n-=0時，OQ²有最小值4，
又因為OQ為正值，所以OQ與OQ²同時取得最小值，
所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=，
所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2+4．
點評：此題考查了一次函數和反比例函數二次函數的圖形和性質，綜合性比較強．要注意對各個知識點的靈活應用．