Question

拋物線的頂點在直線y=x+3上，過點F（-2，2）的直線交該拋物線于點M、N兩點（點M在點N的左邊），MA⊥x軸于點A，NB⊥x軸于點B．
（1）先通過配方求拋物線的頂點坐標（坐標可用含m的代數(shù)式表示），再求m的值；
（2）設點N的橫坐標為a，試用含a的代數(shù)式表示點N的縱坐標，并說明NF=NB；
（3）若射線NM交x軸于點P，且PA•PB=，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用配方法將二次函數(shù)整理成頂點式即可，再利用點在直線上的性質得出答案即可；
（2）首先利用點N在拋物線上，得出N點坐標，再利用勾股定理得出NF²=NC²+FC²，進而得出NF²=NB²，即可得出答案；
（3）求點M的坐標，需要先求出直線PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后連接AF、FB，通過證明△PFA∽△PBF，利用相關的比例線段將PA•PB的值轉化為PF的值，進而求出點F的坐標和直線PF的解析式，即可得解．
解答：解：（1）y=x²+x+m=（x+2）²+（m-1）
∴頂點坐標為（-2，m-1）
∵頂點在直線y=x+3上，
∴-2+3=m-1，
得m=2；

（2）過點F作FC⊥NB于點C，
∵點N在拋物線上，
∴點N的縱坐標為：a²+a+2，
即點N（a，a²+a+2）
在Rt△FCN中，F(xiàn)C=a+2，NC=NB-CB=a²+a，
∴NF²=NC²+FC²=（a²+a）²+（a+2）²，
=（a²+a）²+（a²+4a）+4，
而NB²=（a²+a+2）²，
=（a²+a）²+（a²+4a）+4
∴NF²=NB²，
NF=NB；

（3）連接AF、BF，
由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，
∴∠MAF=∠MFA，
∵MA⊥x軸，NB⊥x軸，
∴MA∥NB，
∴∠AMF+∠BNF=180°
∵△MAF和△NFB的內角總和為360°，
∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，
∵∠MAB+∠NBA=180°，
∴∠FBA+∠FAB=90°，
又∵∠FAB+∠MAF=90°，
∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，
又∵∠FPA=∠BPF，
∴△PFA∽△PBF，
∴=，PF²=PA×PB=，
過點F作FG⊥x軸于點G，在Rt△PFG中，
PG==，
∴PO=PG+GO=，
∴P（-，0）
設直線PF：y=kx+b，把點F（-2，2）、點P（-，0）代入y=kx+b，
解得k=，b=，
∴直線PF：y=x+，
解方程x²+x+2=x+，
得x=-3或x=2（不合題意，舍去），
當x=-3時，y=，
∴M（-3，）．
點評：考查了二次函數(shù)綜合題，在該二次函數(shù)綜合題中，融入了勾股定理、相似三角形等重點知識，（3）題通過構建相似三角形將PA•PB轉化為PF的值是解題的關鍵，也是該題的難點．