Question

我們將1×2×3×…×n記作n!，如：5!=1×2×3×4×5；100!=1×2×3×…×100；若設(shè)S=1×1!+2×2!+3×3!+…+2007×2007!，則S除以2008的余數(shù)是

1. A.
   0
2. B.
   1
3. C.
   1004
4. D.
   2007

Answer 1

D
分析：根據(jù)S的特點，再加上一列K=1!+2!+3!+…+2007!后不含系數(shù)的n!的形式的和的形式整理就可以得到意想不到的效果．
解答：設(shè)K=1!+2!+3!+…+2007!，
則S+K=1×1!+2×2!+3×3!+…+2007×2007!+1!+2!+3!+…+2007!
=（1+1）1!+（2+1）2!+（3+1）3!+…+（2007+1）2007!
=2×1!+3×2!+4×3!+…+2007×2006!+2008×2007!
=2!+3!+…+2007!+2008×2007!
=-1+1!+2!+3!+…+2007!+2008×2007!
=-1+K+2008×2007!，
∴S=2008×2007!-1，
=2008!-1，
∴S除以2008的余數(shù)是-1，即S再加上1則能被2008整除，
∴商減小1，則余數(shù)為2007．
故選D．
點評：本題是信息給予題，提供一列K=1!+2!+3!+…+2007!，再通過整理去掉這列數(shù)是解本題的關(guān)鍵，也是難點．這就要求同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)中積累經(jīng)驗，提高自身能力．