Question

（2013•梅列區(qū)模擬）已知：∠DBC=∠ACB，BC=2AC，BD=BC，CD、AB交于點(diǎn)E．
（1）如圖①，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，求出線段DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖②，當(dāng)∠ACB=120°時(shí)，求證：DE=3CE；
（3）如圖③，在（2）的條件下，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，連接DF交AB于點(diǎn)G，若CE=2，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由∠DBC=∠ACB=90°，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到DB與AC平行，由平行得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而確定出三角形DBE與三角形ACE相似，由相似得比例，根據(jù)BC=BD=2AC，求出相似比，求出DE與EC之比，即可確定出DE與CE的數(shù)量關(guān)系；
（2）過M作BM⊥DC，交DC于點(diǎn)M，由三角形DBC為頂角為120°的等腰三角形，得到DM=DC=

1

2

DC，∠D=∠DCB=30°，在直角三角形BDM中，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到DB=2BM，即BC=2BM，由BC=2AC，得到BM=AC，再由一對(duì)直角相等，一對(duì)對(duì)頂角相等，利用AAS得到三角形BME與三角形ACE全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到ME=CE=

1

2

MC=

1

4

DC，即可得證；
（3）延長(zhǎng)CB，過D作DN⊥CN，過M作BM⊥DC，交DC于點(diǎn)M，由（2）的結(jié)論求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出DC的長(zhǎng)，在直角三角形DCN中，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出DN的長(zhǎng)，在直角三角形BDN中，利用外角性質(zhì)求出∠DBN=60°，求出∠BDN=30°，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到BC=BD=2BN，由F為BC中點(diǎn)，得到BF=FC=

1

2

BC，確定出NB=BF=FC，即NF=BC，在直角三角形BMC中，利用勾股定理及方程思想求出BC的長(zhǎng)，即為NF的長(zhǎng)，在直角三角形DFN中，利用勾股定理即可求出DF的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵∠DBC=∠ACB=90°，
∴DB∥AC，
∴△BDE∽△ACE，
∴

DB

AC

=

DE

CE

，
∵BC=BD=2AC，
∴

DE

CE

=2，即DE=2CE；
（2）過M作BM⊥DC，交DC于點(diǎn)M，
∵∠ACB=∠BDC=120°，BC=BD，
∴∠D=∠DCB=30°，
∴DM=CM=

1

2

DC，∠ACE=120°-30°=90°，
∴∠BME=∠ACE=90°，
在Rt△BDM中，∠D=30°，
∴BM=

1

2

DB=

1

2

BC，
∵BC=2AC，即AC=

1

2

BC，
∴BM=AC，
在△BME和△ACE中，

∠MEB=∠CEA ∠BME=∠ACE=90° BM=AC

，
∴△BME≌△ACE（AAS），
∴ME=CE=

1

2

CM=

1

4

DC，即DC=4CE，
∵DC=DE+EC=4EC，
∴DE=3EC；
（3）延長(zhǎng)CB，過D作DN⊥CN，過M作BM⊥DC，交DC于點(diǎn)M，
由（2）得：DE=3EC=6，即DC=DE+EC=6+2=8，即CM=4，
在Rt△DCN中，∠DCN=30°，
∴DN=

1

2

DC=4，
∵∠DBN=∠BDC+∠BCD=60°，
∴∠BDN=30°，
在Rt△BDN中，NB=

1

2

DB=

1

2

BC，
∵F為BC中點(diǎn)，
∴BF=

1

2

BC，
∴BN=BF=FC，
∴NF=NB+BF=CF+FB=BC，
在Rt△BCM中，設(shè)BM=x，則BC=2x，
根據(jù)勾股定理得：x²+4²=（2x）²，
解得：x=

4 3

3

，
∴NF=BC=

8 3

3

，
在Rt△DNF中，
根據(jù)勾股定理得：DF=

DN2+NF2

=

42+( 8 3 3 )2

=

16+ 64 3

=

4 21

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．