Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），拋物線的頂點為P，連接AC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）拋物線對稱軸上是否存在一點M，使得S_△MAP=2S_△ACP？若存在，求出M點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），再把C（0，3）代入求出a的值即可；
（2）根據（1）中拋物線的解析式求出求出拋物線的對稱軸方程及頂點坐標，設出M點的坐標，利用待定系數法求出直線AP的解析式，求出E點坐標，故可得出△ACP的面積，進而可得出M點的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點，
∴設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），
∵點C（0，3），
∴-3a=3，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x+3）（x-1），即y=-x²-2x+3；

（2）∵拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；
∴其對稱軸x=-1，頂點P的坐標為（-1，4）
∵點M在拋物線的對稱軸上，
∴設M（-1，m），
∵A（1，0），P（-1，4），
∴設過點A、P的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直線AP的解析式為y=-2x+2，
∴E（0，2），
∴S_△ACP=S_△ACE+S_△PEC=CE•1+CE•1=×1×1+×1×1=1，
∵S_△MAP=2S_△ACP，
∴MP×2=2，解得MP=2，
當點M在P點上方時，m-4=2，解得m=6，
∴此時M（-1，6）；
當點M在P點下方時，4-m=2，解得m=2，
∴此時M（-1，2），
綜上所述，M₁（-1，6），M₂（-1，2）．
點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數及二次函數的解析式、三角形的面積公式等知識，難度不大．