Question

19．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象與一次函數(shù)y=x+2的圖象交于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)x取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值．
（2）在雙曲線(xiàn)上找一點(diǎn)C，使∠BAC為直角，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由于反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值，故反比例函數(shù)需要在一次函數(shù)的圖象的下方，根據(jù)圖象即可求出x的范圍；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥AB交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，根據(jù)條件求出直線(xiàn)AC的解析式，然后聯(lián)立直線(xiàn)AC與雙曲線(xiàn)即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-1}\end{array}\right.$
解得A（1，3），B（-3，-1）
當(dāng)反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值-3＜x＜0或x＞1；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥AB交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，
令x=0代入y=x+2，
∴y=2，
∴G（0，2）
令y=0代入y=x+2，
∴x=-2，
∴F（-2，0）
∴OF=OG
∴∠GFO=45°，
∴∠AGE=45°，
∴△DAG是等腰直角三角形，
∵A（1，3）
∴OE=3，AE=1，
∴AE=DE=1，
∴OD=OE+DE=4，
∴D（0，4）
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=mx+n，
把（0，4）和（1，3）代入y=mx+n
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=n}\\{3=m+n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=4}\end{array}\right.$
∴y=-x+4，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)C（3，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立兩函數(shù)的解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)，本題屬于中等題型．